Каков объем куба с диагональю, равной 4 корня из

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о связи между диагональю куба и его объемом.

Диагональ куба — это прямая линия, соединяющая две противоположные вершины куба через его центр. Обозначим диагональ куба как \(d\).

Чтобы найти объем куба, мы должны знать длину его ребра, поскольку все ребра куба равны между собой. Обозначим длину ребра как \(a\).

Используя теорему Пифагора, мы можем найти связь между \(d\) и \(a\). Для этого мы можем использовать правило: диагональ куба в квадрате равна сумме квадратов его трех измерений — \[d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2.\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(a\), чтобы найти длину ребра куба: \[a^2 = \frac{d^2}{3},\] \[a = \sqrt{\frac{d^2}{3}}.\]

В нашей задаче дано, что \(d = 4\sqrt{2}\). Подставляя это значение в уравнение, получаем: \[a = \sqrt{\frac{(4\sqrt{2})^2}{3}} = \sqrt{\frac{32}{3}}.\]

Таким образом, длина ребра куба с диагональю \(4\sqrt{2}\) равна \(\sqrt{\frac{32}{3}}\).

Чтобы найти объем куба, мы можем возвести длину ребра в куб: \[V = a^3 = \left(\sqrt{\frac{32}{3}}\right)^3 = \sqrt{\frac{32^3}{3^3}}.\]

Выполнив все вычисления в этом уравнении, мы получим конечный ответ в виде квадратного корня. Произведем необходимые расчеты и приведем ответ:

\[V \approx \sqrt{309.035} \approx 17.596.\]

Таким образом, объем куба с диагональю \(4\sqrt{2}\) равен примерно \(17.596\) кубических единиц (единицы объема).