Каков объем конуса с высотой и диагональю осевого сечения, равными 5 см и 13 см соответственно, при условии

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу объема конуса. Обозначим объем конуса через \( V \), высоту через \( h \), диагональ осевого сечения через \( d \), а площадь основания через \( S \).

Для начала, нам нужно найти площадь основания большего конуса. Поскольку площади оснований относятся как 1:4, мы можем записать это в виде:

\[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{4}
\]

Так как отношение площадей оснований равно отношению квадратов их сторон, то:

\[
\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2
\]

Здесь \( a_1 \) и \( a_2 \) - стороны оснований конусов. Поскольку мы знаем, что \( S_1 = S \) и \( S_2 = 4S \), можем записать:

\[
\frac{S}{4S} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2
\]

Сокращая \( S \) на обеих сторонах равенства, получаем:

\[
\frac{1}{4} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2
\]

Из данного соотношения можно сделать вывод, что отношение сторон основания равно 1:2, то есть пусть длина стороны \( a_1 = x \), тогда длина стороны \( a_2 = 2x \).

Теперь, когда у нас есть отношение сторон основания, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения радиуса \( r \) основания большего конуса:

\[
r^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \left(\frac{13}{2}\right)^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2
\]

Сокращая общий множитель на обеих сторонах равенства, получаем:

\[
r^2 = \frac{169}{4} - \frac{x^2}{4}
\]

У нас есть еще одно условие: высота конуса \( h = 5 \) см. Теперь мы можем выразить объем конуса через радиус и высоту:

\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]

Осталось подставить выражение для радиуса:

\[
V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{169}{4} - \frac{x^2}{4}\right) \cdot 5
\]

Сокращаем единицы на обеих сторонах и упрощаем выражение:

\[
V = \frac{5}{12} \pi (169 - x^2)
\]

Таким образом, получаем формулу для объема конуса в зависимости от переменной \( x \).

Полученное выражение позволяет нам определить объем конуса для любого значения переменной \( x \). Для нахождения конкретного объема конуса с заданными условиями (\( h = 5 \) см, \( d = 13 \) см), остается только подставить эти значения в формулу:

\[
V = \frac{5}{12} \pi \left(169 - \left(\frac{x}{2}\right)^2\right)
\]

\[ V = \frac{5}{12} \pi \left(169 - \left(\frac{13}{2}\right)^2\right) \]

\[ V = \frac{5}{12} \pi \left(169 - \frac{169}{4}\right) \]

После выполнения всех вычислений, мы получим окончательный ответ.