Каков объем конуса, если его высота составляет 5 метров, а угол между образующей и высотой равен 60 градусов?

Чтобы решить эту задачу и определить объем конуса, нам потребуются некоторые геометрические свойства и формулы.

Первым шагом будет определение радиуса основания конуса. У нас есть только угол между образующей и высотой, но у нас нет данных о размерах основания. Поэтому мы должны рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный образующей конуса, радиусом основания и апофемой (прямой, соединяющей вершину конуса с центром основания).

Так как у нас есть прямоугольный треугольник с известными углами, мы можем использовать тригонометрию для вычисления значений его сторон.

Первым шагом будет вычисление значения апофемы треугольника. Мы знаем, что угол между образующей и высотой составляет 60 градусов, а высота равна 5 метров. Можно использовать тригонометрию для вычисления значения апофемы $a$.

$$\sin \theta =\frac{\text{{противоположная сторона}}}{\text{{гипотенуза}}}$$

Гипотенуза треугольника соответствует образующей конуса, а противоположная сторона - апофема. Подставляя известные значения, получаем:

$$\sin {60}^{\circ }=\frac{a}{\text{{образующая}}}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\text{{образующая}}}$$

Теперь мы можем найти значение апофемы $a$:

$$a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \text{{образующая}}$$

Далее, мы должны найти радиус основания конуса. Воспользуемся фактом, что прямоугольный треугольник, образуемый радиусом основания, половиной образующей и апофемой, является равнобедренным. Это означает, что радиус основания и половина образующей равны по величине.

Таким образом, радиус основания $r$ равен половине образующей конуса.

Теперь у нас есть все необходимые данные для определения объема конуса. Формула для объема конуса выглядит следующим образом:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

То есть объем равен трети от площади основания, умноженной на высоту. Подставляя значения, получаем:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {(\frac{1}{2}\cdot \text{{образующая}})}^2\cdot \text{{высота}}$$

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \text{{образующая}})}^2\cdot \text{{высота}}$$

Не забудьте заменить $\pi$ на соответствующее аппроксимированное значение. Теперь у вас есть формула для вычисления объема конуса в зависимости от его высоты и угла между образующей и высотой. Подставьте известные значения и произведите необходимые вычисления, чтобы получить ответ на задачу о объеме конуса.