Каков объем конуса, если его образующая равна 4 корня из 2 см и он наклонен к плоскости основания под углом

Чтобы определить объем конуса, нам понадобятся формулы для его вычисления. Объем \(V\) конуса можно найти по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

где \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - высота конуса, также называемая образующей.

Дано в условии задачи, что образующая конуса равна \(4 \sqrt{2}\) см. Для определения радиуса основания \(r\), нам необходимо знать диаметр основания, так как радиус равен половине диаметра.

У нас есть следующая информация из условия задачи: конус наклонен к плоскости основания под углом 45 градусов. Поскольку это прямой конус, угол между образующей конуса и плоскостью основания должен быть 90 градусов. Поэтому, угол между образующей конуса и вертикальной линией (перпендикулярной плоскости основания) будет равен \(90 - 45 = 45\) градусов.

Теперь можем приступить к решению задачи:

1. Найдем радиус основания \(r\). Поскольку у нас нет непосредственных данных об этом, воспользуемся тем, что угол между образующей и вертикальной линией равен 45 градусов.

Мы можем представить конус как правильный треугольник используя образующую конуса, радиус основания и расстояние от основания до вершины конуса. Угол наклона конуса определяет прямой треугольник, и мы знаем, что угол между образующей и вертикальной линией составляет 45 градусов.

Поэтому, у нас есть прямоугольный треугольник, где один угол равен 45 градусов, а гипотенуза равна \(4 \sqrt{2}\) см.

Если мы обозначим \(r\) - радиус, а \(h\) - образующую (высоту) конуса, где \(h = 4 \sqrt{2}\), то мы знаем, что синус 45 градусов будет равен отношению стороны, противолежащей нашему углу 45 градусов (радиуса основания) к гипотенузе (образующей).

\[\sin(45^{\circ}) = \frac{r}{4 \sqrt{2}}\]

Так как \(\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то получаем:

\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r}{4 \sqrt{2}}\]

Домножим оба выражения на \(4 \sqrt{2}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \cdot \frac{r}{4 \sqrt{2}}\]

Получаем:

\[2 = r\]

Зная радиус основания \(r = 2\), мы можем перейти к следующему шагу.

2. Теперь мы можем вычислить объем конуса, используя найденные значения для радиуса \(r\) и высоты \(h\):

Подставим \(r = 2\) и \(h = 4 \sqrt{2}\) в формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi (2^2) (4 \sqrt{2})\]

Упростим это выражение:

\[V = \frac{4}{3} \pi \cdot 4 \sqrt{2}\]

Умножим числовые значения и преобразуем умножение корня из 2 на 4:

\[V = \frac{16}{3} \pi \sqrt{2}\]

Таким образом, объем конуса составляет \(\frac{16}{3} \pi \sqrt{2}\) кубических сантиметров.

Это подробное решение, включающее пошаговые шаги и обоснования. Теперь школьнику должно быть понятно, как был найден объем конуса и какие формулы использовались при решении задачи.