Каков объём и площадь поверхности тела вращения, если ромб со стороной 10 см и острым углом 60 градусов вращается

Чтобы найти объем и площадь поверхности тела вращения, нам нужно использовать формулы, связанные с вращением фигуры вокруг оси. В этой задаче ромб вращается вокруг одной из своих сторон, что создает трехмерную фигуру, напоминающую конус. Давайте рассмотрим этот процесс более подробно.

Для начала, мы найдем высоту конуса, используя известные данные о ромбе. Для этого мы можем разделить его на два равнобедренных треугольника, образованных его диагоналями.

Диагональ ромба можно найти, используя теорему Пифагора: \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон ромба. В нашем случае сторона ромба равна 10 см, поэтому \(a = b = 10\). Подставляя значения в формулу, получим \(d = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} \approx 14.14\).

Теперь мы можем найти высоту конуса. Высота конуса равна половине диагонали ромба. Таким образом, \(h = \frac{d}{2} = \frac{14.14}{2} = 7.07\).

Теперь мы можем использовать найденные значения для расчета объема конуса и площади его поверхности.

Объем конуса можно найти с использованием формулы \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - высота.

Радиус \(r\) основания конуса равен половине стороны ромба: \(r = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5\).

Подставляя известные значения в формулу для объема конуса, получаем \(V = \frac{1}{3} \pi (5^2) 7.07 \approx 117.81 \, \text{см}^3\).

Теперь перейдем к расчету площади поверхности тела вращения. Для этого используем формулу \(S = \pi r(l + r)\), где \(l\) - образующая конуса, а \(r\) - радиус основания.

Чтобы найти образующую \(l\), мы можем использовать теорему Пифагора вместе с длиной стороны ромба:

\(l = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{(14.14)^2 - 5^2} \approx \sqrt{170.59} \approx 13.06\).

Теперь подставим значения в формулу для площади поверхности:

\(S = \pi \cdot 5(13.06 + 5) \approx \pi \cdot 5 \cdot 18.06 \approx 282.74 \, \text{см}^2\).

Итак, объем ротационного тела составляет примерно 117.81 \(\text{см}^3\), а площадь поверхности - около 282.74 \(\text{см}^2\).