Каков объем и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если сумма длин всех его ребер равна 132

Для решения данной задачи, нам необходимо последовательно найти значения длины \(a\), ширины \(b\) и высоты \(h\) прямоугольного параллелепипеда, затем посчитать его объем и площадь полной поверхности.

Дано:
Сумма длин всех ребер равна 132 см.

Обозначим стороны параллелепипеда следующим образом:
\(a\) - длина
\(b\) - ширина
\(h\) - высота

Условие:
\(a > b\) в 3 раза
\(h < a\) в 2 раза

Теперь давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем значения \(a\), \(b\) и \(h\).

По условию, сумма длин всех ребер равна 132 см. Поскольку параллелепипед имеет 12 ребер, каждое ребро вносит равный вклад в сумму длин. То есть,

\[2(a + b + h) = 132\].

Шаг 2: Найдем значение \(a\).

Условие гласит, что \(a\) больше \(b\) в 3 раза, то есть \(a = 3b\).

Подставим это выражение в уравнение из Шага 1:

\[2(3b + b + h) = 132\].

Упростим уравнение:

\[8b + 2h = 132\].

Шаг 3: Найдем значение \(h\).

Условие гласит, что \(h\) меньше \(a\) в 2 раза, то есть \(h = \frac{1}{2}a\).

Подставим это выражение в уравнение из Шага 2:

\[8b + 2\left(\frac{1}{2}a\right) = 132\].

Упростим уравнение:

\[8b + a = 132\].

Шаг 4: Найдем значения \(b\) и \(h\).

Теперь у нас есть два уравнения:

\(\begin{cases} 8b + a = 132 \\ a = 3b \end{cases}\).

Решим эту систему уравнений. Выразим \(a\) через \(b\) из второго уравнения и подставим в первое:

\[8b + 3b = 132\].

Упростим уравнение:

\[11b = 132\].

Разделим обе части на 11:

\[b = 12\].

Теперь найдем \(a\):

\[a = 3b = 3 \cdot 12 = 36\].

И найдем \(h\):

\[h = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18\].

Шаг 5: Найдем объем и площадь полной поверхности параллелепипеда.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:

\[V = a \cdot b \cdot h\].

Подставим известные значения:

\[V = 36 \cdot 12 \cdot 18 = 7776 \text{ см}^3\].

Площадь полной поверхности параллелепипеда можно найти по формуле:

\[S = 2(ab + bh + ah)\].

Подставим известные значения:

\[S = 2(36 \cdot 12 + 12 \cdot 18 + 36 \cdot 18) = 1728 \text{ см}^2\].

Итак, ответ на задачу: объем параллелепипеда равен 7776 см³, а площадь полной поверхности равна 1728 см².