Каков объем фигуры, получающейся при вращении равнобедренного треугольника с основанием, равным 9/π, и высотой, равной

Для решения этой задачи мы можем использовать метод цилиндрического метода. Он состоит в том, чтобы представить вращаемую фигуру как цилиндр.

Сначала нам необходимо найти площадь основания цилиндра. В данном случае основание цилиндра будет представлять собой вращаемый равнобедренный треугольник. Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{Основание} \cdot \text{Высота}\]

В нашем случае, основание равнобедренного треугольника равно \(\frac{9}{\pi}\), а высота равна \(7\sqrt{2}\). Подставим значения в формулу:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\pi} \cdot 7\sqrt{2}\]

Теперь найдем площадь основания цилиндра, зная площадь треугольника:

\[S_{\text{основания}} = \pi \cdot S_{\text{треугольника}}\]

Используя значения, найденные ранее, мы можем вычислить:

\[S_{\text{основания}} = \pi \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\pi} \cdot 7\sqrt{2}\right)\]

Теперь, чтобы найти объем цилиндра, нам нужно умножить площадь основания на высоту цилиндра. В нашем случае, высота цилиндра равна той же высоте, что и высота треугольника, то есть \(7\sqrt{2}\). Применяя формулу для объема цилиндра, мы получим:

\[V_{\text{цилиндра}} = S_{\text{основания}} \cdot \text{Высота}\]

Теперь подставим значения, которые мы нашли:

\[V_{\text{цилиндра}} = \left(\pi \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\pi} \cdot 7\sqrt{2}\right)\right) \cdot 7\sqrt{2}\]

\[V_{\text{цилиндра}} = \frac{9}{2} \cdot 7\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{2}\]

\[V_{\text{цилиндра}} = \frac{9}{2} \cdot 7 \cdot 2 \cdot 7\]

\[V_{\text{цилиндра}} = 63 \cdot 14\]

\[V_{\text{цилиндра}} = 882\]

Таким образом, объем фигуры, получающейся при вращении равнобедренного треугольника с заданными параметрами вокруг его основания, равен 882.