Каков объем цилиндра, вписанного в прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами

Для решения этой задачи, нам необходимо разобраться с геометрическими свойствами цилиндра, вписанного в прямую призму. Но прежде, чем мы продолжим, давайте вкратце обсудим некоторые основные понятия.

Цилиндр - это трехмерная геометрическая фигура, у которой две параллельные основы и цилиндрическая поверхность, соединяющая эти основы. В нашем случае, цилиндр вписан в прямую призму, что означает, что его основы параллельны основам призмы и располагаются на ее боковых гранях.

Прямоугольный треугольник, который является основанием призмы, имеет катеты длинами 1 и 10. Это означает, что один катет равен 1, а другой - 10. По теореме Пифагора мы можем найти длину гипотенузы этого треугольника. Так как треугольник прямоугольный, то его гипотенуза будет являться диаметром цилиндра.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы треугольника:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ c^2 = 1^2 + 10^2 \]
\[ c^2 = 1 + 100 \]
\[ c^2 = 101 \]

Теперь найдя длину гипотенузы, обозначим ее как \( c \), которая будет равна \( \sqrt{101} \).

Так как диаметр цилиндра равен гипотенузе прямоугольного треугольника, то диаметр будет равен \( \sqrt{101} \).

Используя формулу для объема цилиндра:

\[ V = \pi r^2 h \]

мы должны найти радиус и высоту цилиндра. В данной задаче указано, что боковые ребра призмы равны \( \frac{6}{\pi} \). Таким образом, высота цилиндра будет равна длине бокового ребра призмы.

Высота цилиндра \( h = \frac{6}{\pi} \).

Радиус цилиндра - половина диаметра цилиндра, равного гипотенузе треугольника, поэтому радиус будет равен:

\[ r = \frac{\sqrt{101}}{2} \]

Теперь, заменяя значения радиуса и высоты в формуле, мы можем вычислить объем цилиндра:

\[ V = \pi \left(\frac{\sqrt{101}}{2}\right)^2 \left(\frac{6}{\pi}\right) \]
\[ V = \frac{6}{\pi} \cdot \frac{101}{4} \]
\[ V = \frac{606}{4 \pi} \]
\[ V = \frac{303}{2 \pi} \]

Таким образом, объем цилиндра, вписанного в прямую призму с основанием в виде прямоугольного треугольника, равен \( \frac{303}{2 \pi} \).