Каков наименьший корень уравнения lg(x-2)tgx=tgx, соответствующий неравенству х^2-10x-24

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом:

1. Начнем с того, что рассмотрим уравнение \(lg(x-2)tgx = tgx\). Возможно, вы заметили, что оба члена имеют функцию тангенса, так что мы можем упростить это уравнение. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: \(tgx = \frac{{sinx}}{{cosx}}\).

2. Подставим эту замену в уравнение и получим \(lg(x-2)\cdot\frac{{sinx}}{{cosx}} = \frac{{sinx}}{{cosx}}\).

3. Теперь давайте избавимся от знаменателя и переместим все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение. Умножим обе части уравнения на \(cosx\), чтобы убрать знаменатель, и получим \(lg(x-2)\cdot sinx - sinx \cdot cosx = 0\).

4. Мы знаем, что \(sinx\cdot cosx = \frac{{sin2x}}{{2}}\), так что можно переписать уравнение как \(lg(x-2)\cdot sinx - \frac{{sin2x}}{{2}} = 0\).

5. Применим еще одно тригонометрическое тождество: \(sin2x = 2sinxcosx\). Подставим его и получим \(lg(x-2)\cdot sinx - sinx \cdot cosx = 0\).

6. Факторизуем уравнение замечая, что \(sinx\) есть общий множитель: \(sinx \cdot \left(lg(x-2) - cosx\right) = 0\).

7. Теперь разберемся с каждым фактором отдельно. Первый фактор \(sinx = 0\) дает нам решение \(x = 0\).

8. Рассмотрим второй фактор \(lg(x-2) - cosx = 0\). Найдем корень этого уравнение. Для этого нам потребуется использовать график логарифма и тригонометрическую функцию.

- Поскольку логарифм \(lg(x-2)\) определен только для \(x-2 > 0\) или \(x > 2\), мы можем ограничиться только теми значениями \(x\), которые больше 2.

- Мы знаем, что косинус х принимает значения в диапазоне \([-1, 1]\). Таким образом, можно записать неравенство \(lg(x-2) - 1 \leq 0\) для отработки условия \(cosx \geq 1\).

- Решим неравенство: \(lg(x-2) - 1 \leq 0\). Приведя его к экспоненциальному виду, мы получаем: \(x - 2 \leq 10\).

- Решим это неравенство и получим \(x \leq 12\).

9. В итоге, мы получили два корня: \(x = 0\) и \(x \leq 12\) для уравнения lg(x-2)tgx=tgx, соответствующего неравенству \(х^{2} - 10х - 24\).

Надеюсь, этот разбор задачи был достаточно подробным и понятным для вас. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!