Каков наименьший корень уравнения lg(x-2)tgx=tgx, соответствующий неравенству х^2-10x-24

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом:

1. Начнем с того, что рассмотрим уравнение $lg(x-2)tgx=tgx$. Возможно, вы заметили, что оба члена имеют функцию тангенса, так что мы можем упростить это уравнение. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $tgx=\frac{sinx}{cosx}$.

2. Подставим эту замену в уравнение и получим $lg(x-2)\cdot \frac{sinx}{cosx}=\frac{sinx}{cosx}$.

3. Теперь давайте избавимся от знаменателя и переместим все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение. Умножим обе части уравнения на $cosx$, чтобы убрать знаменатель, и получим $lg(x-2)\cdot sinx-sinx\cdot cosx=0$.

4. Мы знаем, что $sinx\cdot cosx=\frac{sin2x}{2}$, так что можно переписать уравнение как $lg(x-2)\cdot sinx-\frac{sin2x}{2}=0$.

5. Применим еще одно тригонометрическое тождество: $sin2x=2sinxcosx$. Подставим его и получим $lg(x-2)\cdot sinx-sinx\cdot cosx=0$.

6. Факторизуем уравнение замечая, что $sinx$ есть общий множитель: $sinx\cdot (lg(x-2)-cosx)=0$.

7. Теперь разберемся с каждым фактором отдельно. Первый фактор $sinx=0$ дает нам решение $x=0$.

8. Рассмотрим второй фактор $lg(x-2)-cosx=0$. Найдем корень этого уравнение. Для этого нам потребуется использовать график логарифма и тригонометрическую функцию.

- Поскольку логарифм $lg(x-2)$ определен только для $x-2>0$ или $x>2$, мы можем ограничиться только теми значениями $x$, которые больше 2.

- Мы знаем, что косинус х принимает значения в диапазоне $[-1,1]$. Таким образом, можно записать неравенство $lg(x-2)-1\le 0$ для отработки условия $cosx\ge 1$.

- Решим неравенство: $lg(x-2)-1\le 0$. Приведя его к экспоненциальному виду, мы получаем: $x-2\le 10$.

- Решим это неравенство и получим $x\le 12$.

9. В итоге, мы получили два корня: $x=0$ и $x\le 12$ для уравнения lg(x-2)tgx=tgx, соответствующего неравенству ${х}^2-10х-24$.

Надеюсь, этот разбор задачи был достаточно подробным и понятным для вас. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!