Каков модуль выражения 3АС-2ВС, где А(2;-1;3), В(0;3;5), С(-4;7;2)?

Чтобы найти модуль выражения \(3AC-2BC\), где \(A(2;-1;3)\), \(B(0;3;5)\), и \(C(-4;7;2)\), сначала нам надо найти расстояние между точками \(A\) и \(C\) и расстояние между точками \(B\) и \(C\), а затем умножить их на соответствующие коэффициенты.

Давайте сначала найдем расстояние между точками \(A\) и \(C\).
Используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\]

Подставляя значения координат точек \(A\) и \(C\) в формулу, получим:

\[d_{AC} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (7 - (-1))^2 + (2 - 3)^2}\]

Вычислим это:

\[d_{AC} = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2 + (-1)^2}\]
\[d_{AC} = \sqrt{36 + 64 + 1}\]
\[d_{AC} = \sqrt{101}\]

Теперь найдем расстояние между точками \(B\) и \(C\).
Снова используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\]

Подставляя значения координат точек \(B\) и \(C\) в формулу, получим:

\[d_{BC} = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (7 - 3)^2 + (2 - 5)^2}\]

Вычислим это:

\[d_{BC} = \sqrt{(-4)^2 + (4)^2 + (-3)^2}\]
\[d_{BC} = \sqrt{16 + 16 + 9}\]
\[d_{BC} = \sqrt{41}\]

Теперь, когда у нас есть расстояния \(d_{AC} = \sqrt{101}\) и \(d_{BC} = \sqrt{41}\), можем найти модуль выражения \(3AC-2BC\):

\[|3AC-2BC| = |3 \cdot \sqrt{101} - 2 \cdot \sqrt{41}|\]

Округлим ответ до двух знаков после запятой, получим:

\[|3AC-2BC| \approx |3 \cdot 10.05 - 2 \cdot 6.4| \approx |30.15 - 12.8| \approx |17.35| \approx 17.35\]

Таким образом, модуль выражения \(3AC-2BC\) равен 17.35.