1. Як зміниться площа прямокутного трикутника, якщо висота, проведена до гіпотенузи, розділяє її на відрізки довжиною

Задача 1. Як зміниться площа прямокутного трикутника, якщо висота, проведена до гіпотенузи, розділяє її на відрізки довжиною 16 і 9 см?

Для початку розглянемо загальні властивості прямокутного трикутника. У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, розділяє його на два менших прямокутних трикутники. Таким чином, площа великого трикутника дорівнює сумі площ двох менших трикутників.

Тепер враховуємо відомості про довжини розділених відрізків висоти - 16 і 9 см. Ці відрізки поділяють висоту на три частини - одна з них дорівнює 9 см, інша - 16 см, і третя частина, що залишилась, також дорівнює 9 см.

Площа великого трикутника (S) дорівнює сумі площ двох менших трикутників. Розрахуємо площу кожного з них:

1. Перший прямокутний трикутник: підставимо в формулу для площі \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot h_1\), де \(a_1\) - основа трикутника, \(h_1\) - відповідний висота, \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 9 = 72\) кв. см.

2. Другий прямокутний трикутник: підставимо в формулу для площі \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot h_2\), де \(a_2\) - основа другого трикутника, \(h_2\) - відповідна висота, \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 = 40.5\) кв. см.

Тепер просто знайдемо суму отриманих площ, щоб отримати площу великого трикутника:

\[S = S_1 + S_2 = 72 + 40.5 = 112.5\] кв. см.

Таким чином, площа прямокутного трикутника зміниться і буде дорівнювати 112.5 квадратних сантиметрів.

Задача 2. Яка буде площа трикутника, якщо одна з його сторін має довжину 21 см, а дві інші утворюють кут 120 градусів і відносяться як 5:4?

Для початку, нам потрібно з"ясувати довжини двох інших сторін трикутника. Оскільки ми знаємо, що ці сторони утворюють кут 120 градусів і відносяться як 5:4, ми можемо використати теорему синусів.

У трикутнику, теорема синусів гласить:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

де \(a\), \(b\), і \(c\) - довжини сторін трикутника, а \(A\), \(B\), і \(C\) - відповідні кути.

Оскільки ми знаємо, що сторона \(a\) має довжину 21 см, це може бути наша сторона \(b\) або \(c\). Нехай вона буде стороною \(b\).

Також нам відомо, що \(A = 120\degree\) і що довжини сторін \(b\) і \(c\) відносяться як 5:4. Отже, ми можемо записати наступну рівність:

\[\frac{b}{\sin(120\degree)} = \frac{21}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Тепер нам потрібно знайти значення \(\sin(B)\) і \(\sin(C)\). Зверніть увагу, що сума кутів в трикутнику завжди дорівнює 180 градусів. Отже, можемо записати:

\(B + C = 180\degree - 120\degree\)

\(B + C = 60\degree\)

Застосовуючи знання про трикутник, ми знаємо, що кут \(B\) і \(C\) додаються до гострого кута, а отже, їх сума складає 180 градусів.

Тепер ми можемо розв"язати систему рівнянь і знайти значення \(B\) і \(C\):

\(\sin(B) = \sin(60\degree - C)\)

\(\sin(B) = \sin(60\degree - C)\)

А виразимо \(\sin(C)\) через \(\sin(B)\):

\(\sin(C) = \sin(60\degree - B)\)

Значення sin(60 градусов) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Підставимо ці значення в рівняння і розв"яжемо систему:

\(\frac{21}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\frac{21}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{4}\)

\(c = 28\)

Отже, довжина сторони \(c\) дорівнює 28 см.

Тепер застосуємо формулу для площі трикутника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

Підставимо відомі значення:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 28 \cdot \sin(120\degree) = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 294\sqrt{3}\]

Отже, площа данного трикутника дорівнює \(294\sqrt{3}\) квадратних сантиметрів.

Таким чином, після детального аналізу і використання відповідних формул, ми знайшли відповіді на обидві задачі з шкільної геометрії.