Каков модуль суммы AB+CA+BH в прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90 ∘), где AB равно

Для того чтобы найти модуль суммы \(AB+CA+BH\) в прямоугольном треугольнике ABC, где \(\angle C = 90^\circ\), а значение \(AB\) равно \(x\), нам понадобится использовать теорему Пифагора и некоторые свойства треугольников.

Первое, что нужно сделать, это найти значения остальных сторон треугольника. Для этого мы можем воспользоваться соотношениями, основанными на теореме Пифагора.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае, гипотенуза -- это сторона \(BC\), а катеты -- это стороны \(AB\) и \(CA\).

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:

\[BC^2 = AB^2 + CA^2\]
\[CA^2 = BC^2 - AB^2\]

Если мы знаем значение стороны \(AB\) (равное \(x\)), мы можем использовать эти формулы, чтобы найти значения остальных сторон треугольника. Давайте это сделаем:

\[CA^2 = BC^2 - AB^2\]
\[CA^2 = (2x)^2 - x^2\]
\[CA^2 = 4x^2 - x^2\]
\[CA^2 = 3x^2\]
\[CA = \sqrt{3x^2}\]
\[CA = \sqrt{3}x\]

Теперь мы знаем значения сторон \(AB\) и \(CA\).

Для нахождения значения стороны \(BH\) нам нужно использовать некоторые свойства треугольников. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два меньших прямоугольных треугольника, подобных исходному. При этом, длина высоты равна \(BH\), а сумма катетов одного из меньших треугольников равна \(CA\).

Таким образом, у нас есть следующее соотношение:

\[\frac{CA}{BH} = \frac{BC}{CA}\]

Подставим значения \(CA = \sqrt{3}x\) и \(BC = 2x\):

\[\frac{\sqrt{3}x}{BH} = \frac{2x}{\sqrt{3}x}\]

Теперь решим это уравнение:

\[\sqrt{3}x \cdot \sqrt{3}x = 2x \cdot BH\]
\[3x^2 = 2x \cdot BH\]
\[BH = \frac{3x^2}{2x}\]
\[BH = \frac{3}{2}x\]

Итак, мы нашли значения всех сторон треугольника: \(AB = x\), \(CA = \sqrt{3}x\), \(BH = \frac{3}{2}x\).

Теперь давайте найдем модуль суммы \(AB + CA + BH\):

\[|AB + CA + BH| = |x + \sqrt{3}x + \frac{3}{2}x|\]
\[|AB + CA + BH| = \left|\frac{2x}{2} + \frac{2x\sqrt{3}}{2} + \frac{3x}{2}\right|\]
\[|AB + CA + BH| = \left|\frac{2x + 2x\sqrt{3} + 3x}{2}\right|\]
\[|AB + CA + BH| = \left|\frac{7x + 2x\sqrt{3}}{2}\right|\]

Таким образом, модуль суммы \(AB + CA + BH\) в прямоугольном треугольнике ABC равен \(\left|\frac{7x + 2x\sqrt{3}}{2}\right|\).