Каков КПД цикла, когда одноатомный идеальный газ сначала подвергается изохорному процессу, при котором его температура

Для решения этой задачи нам потребуется использовать первое начало термодинамики, которое выражается формулой:

\[
\Delta Q = \Delta U + \Delta W
\]

Где \(\Delta Q\) - количество теплоты, переданной газу, \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии газа, а \(\Delta W\) - работа, совершаемая газом.

Зная, что одноатомный идеальный газ не испытывает внутреннего изменения энергии во время изохорного процесса, мы можем опустить этот термин и упростить формулу:

\[
\Delta Q = \Delta W
\]

Изохорный процесс происходит при постоянном объеме, поэтому работа равна нулю, так как нет перемещения газа. Таким образом, теплота, переданная газу во время изохорного процесса, также равна нулю.

Теперь перейдем к изобарному процессу. Изобарный процесс происходит при постоянном давлении, поэтому мы можем использовать следующую формулу для расчета работы:

\[
\Delta W = P \cdot \Delta V
\]

Где \(P\) - давление, а \(\Delta V\) - изменение объема газа.

Для определения изменения объема газа мы можем использовать уравнение состояния идеального газа:

\[
PV = nRT
\]

Где \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура газа в абсолютной шкале.

Обратите внимание, что в формуле выше температура указана в абсолютной шкале, поэтому нам необходимо использовать температуры в Кельвинах.

Поскольку в условии задачи говорится о том, что температура газа уменьшается в 4 раза в каждом процессе, мы можем использовать это знание для определения отношения объемов газа:

\[
\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^\gamma
\]

Где \(V_1\) и \(V_2\) - исходный и конечный объемы соответственно, \(T_1\) и \(T_2\) - исходная и конечная температуры газа соответственно, а \(\gamma\) - показатель адиабаты (для одноатомного идеального газа \(\gamma = \frac{5}{3}\)).

Таким образом, с использованием этой формулы мы можем определить соотношение между \(V_1\) и \(V_2\) для изохорного и изобарного процессов.

Наконец, чтобы определить КПД цикла, мы используем формулу:

\[
\text{КПД} = \frac{\text{работа}}{\text{теплота, полученная от источника}}
\]

Теперь, имея все необходимые формулы, мы можем приступить к вычислениям.

Первый шаг: Изохорный процесс.

Так как газ подвергается изохорному процессу, работа равна нулю, и теплота, переданная газу, также равна нулю.

Второй шаг: Изобарный процесс.

В изобарном процессе работа может быть рассчитана следующим образом:

\[
\Delta W = P \cdot \Delta V
\]

Чтобы рассчитать \(\Delta V\), нам необходимо определить соотношение между начальным и конечным объемами газа:

\[
\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^\gamma
\]

Где \(T_1\) - исходная температура, \(T_2\) - конечная температура, а \(\gamma = \frac{5}{3}\).

В условии указано, что температура уменьшается в 4 раза, поэтому мы можем записать это следующим образом:

\[
\frac{T_1}{T_2} = 4
\]

Теперь мы можем рассчитать соотношение между объемами:

\[
\frac{V_2}{V_1} = 4^\gamma = (4)^{\frac{5}{3}}
\]

Вычислим это значение:

\[
\frac{V_2}{V_1} \approx 7.111
\]

Теперь мы можем рассчитать работу:

\[
\Delta W = P \cdot \Delta V = P \cdot (V_2 - V_1)
\]

Так как давление \(P\) и начальный объем \(V_1\) неизвестны, мы не можем рассчитать точный результат для работы. Однако мы можем записать это в общей форме:

\[
\Delta W = P \cdot (7.111 \cdot V_1 - V_1) = 6.111 \cdot P \cdot V_1
\]

Третий шаг: Возвращение в исходное состояние.

Возвращение газа в исходное состояние происходит при процессе, в котором давление прямо пропорционально объему. Этот процесс называется изобарным.

Так как это обратный процесс изобарного процесса, то теплота, полученная от источника будет равна работе, потому что теплоту передали газу.

Теперь мы можем рассчитать КПД цикла. КПД выражается отношением работы цикла к теплоте, полученной от источника:

\[
\text{КПД} = \frac{\Delta W}{\text{теплота, полученная от источника}}
\]

В данном случае:

\[
\text{КПД} = \frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{6.111 \cdot P \cdot V_1}{0.000}
\]

Так как газ не получает теплоты во время изохорного процесса, то \(\Delta Q = 0\).

Следовательно, \(\text{КПД} = \frac{6.111 \cdot P \cdot V_1}{0.000} = \infty\)

Ответ: КПД цикла равен бесконечности, так как в задаче не указано, с какой температуры газ начинает цикл или значение давления.