Каков косинус угла треугольника авс, если его вершины имеют координаты: а(6; 8), в(4; 2), с(0

Чтобы найти косинус угла треугольника ABC, нам понадобятся координаты вершин треугольника. В данном случае, у нас уже заданы координаты вершин A(6; 8), B(4; 2) и C(0; 6).

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника ABC.
Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Для стороны AB:
d_AB = \(\sqrt{{(4 - 6)^2 + (2 - 8)^2}}\)
= \(\sqrt{{(-2)^2 + (-6)^2}}\)
= \(\sqrt{{4 + 36}}\)
= \(\sqrt{{40}}\)

Для стороны BC:
d_BC = \(\sqrt{{(0 - 4)^2 + (6 - 2)^2}}\)
= \(\sqrt{{(-4)^2 + 4^2}}\)
= \(\sqrt{{16 + 16}}\)
= \(\sqrt{{32}}\)

Для стороны AC:
d_AC = \(\sqrt{{(0 - 6)^2 + (6 - 8)^2}}\)
= \(\sqrt{{(-6)^2 + (-2)^2}}\)
= \(\sqrt{{36 + 4}}\)
= \(\sqrt{{40}}\)

Шаг 2: Используем закон косинусов для вычисления косинуса угла C.
Закон косинусов утверждает, что для треугольника с сторонами a, b и c, и углом C против стороны c, косинус угла C вычисляется по формуле:
\[\cos(C) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}\]

В нашем случае:
a = d_BC = \(\sqrt{{32}}\)
b = d_AC = \(\sqrt{{40}}\)
c = d_AB = \(\sqrt{{40}}\)

Теперь мы можем подставить значения в формулу и решить:
\(\cos(C) = \frac{{(\sqrt{{32}})^2 + (\sqrt{{40}})^2 - (\sqrt{{40}})^2}}{{2 \cdot \sqrt{{32}} \cdot \sqrt{{40}}}}\)

\(\cos(C) = \frac{{32 + 40 - 40}}{{2 \cdot \sqrt{{32}} \cdot \sqrt{{40}}}}\)
\(\cos(C) = \frac{{32}}{{2 \cdot \sqrt{{32}} \cdot \sqrt{{40}}}}\)
\(\cos(C) = \frac{{16}}{{\sqrt{{32}} \cdot \sqrt{{40}}}}\)

Таким образом, косинус угла треугольника ABC равен \(\frac{{16}}{{\sqrt{{32}} \cdot \sqrt{{40}}}}\) или около 0.9487 (округлено до четырех знаков после запятой).