Каков косинус угла между векторами a=4m-p и b=m+2p, если векторы m и p перпендикулярны и имеют длины |m|=|p|=1?

Для начала, давайте найдем произведение скалярное между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Скалярное произведение двух векторов определяется следующим образом:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)\),

где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - векторы, \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) - их длины, а \(\theta\) - угол между ними.

В нашем случае длины векторов \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{p}\) равны 1, так как \(|\mathbf{m}|=|\mathbf{p}|=1\).

Так как векторы \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{p}\) перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0:

\(\mathbf{m} \cdot \mathbf{p} = |\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{p}| \cdot \cos(\theta) = 0\).

Теперь выразим скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) через \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{p}\):

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4\mathbf{m} - \mathbf{p}) \cdot (\mathbf{m} + 2\mathbf{p})\).

Раскроем скобки:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4\mathbf{m} \cdot \mathbf{m} + 8\mathbf{m} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{p} \cdot \mathbf{m} - 2\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}\).

Так как \(\mathbf{m} \cdot \mathbf{p} = \mathbf{p} \cdot \mathbf{m} = 0\), оставляем только первое и последнее слагаемое:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4\mathbf{m} \cdot \mathbf{m} - 2\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}\).

Теперь подставим значения длин векторов \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{p}\):

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4(1) - 2(1) = 4 - 2 = 2\).

Теперь осталось найти косинус угла \(\theta\). Для этого воспользуемся формулой для скалярного произведения:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)\).

Мы уже знаем, что \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2\), \(|\mathbf{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}\) и \(|\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\).

Подставим эти значения в формулу и найдем косинус угла \(\theta\):

\(2 = \sqrt{17} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos(\theta)\).

Делим обе части уравнения на \(\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}\):

\(\cos(\theta) = \frac{2}{{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}}}\).

Можно упростить это выражение, перемножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}\):

\(\cos(\theta) = \frac{2 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{5}}{{(\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}})^2}\).

Упрощаем знаменатель:

\(\cos(\theta) = \frac{2 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{5}}{{17 \cdot 5}}\).

Дальше сокращаем числитель и знаменатель на 5:

\(\cos(\theta) = \frac{2 \cdot \sqrt{17}}{{17}}\).

Таким образом, косинус угла \(\theta\) между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен \(\frac{2 \cdot \sqrt{17}}{{17}}\).