Каков косинус угла α между прямыми BN и AM в кубе ABCDA1B1C1D1, если B1N:NA1 = 1:4 и A1M:MD1 = 1:1, а длина ребра куба

Для решения задачи, нам потребуется найти значения координат точек B, N, A, M в пространстве и затем определить косинус угла между прямыми BN и AM. Давайте начнем с поиска координат этих точек.

Пусть сторона куба имеет длину a. Рассмотрим точку B. Она находится на вершине куба ABCDA1B1C1D1, поэтому ее координаты будут (0, 0, 0).

Точка N находится на отрезке B1N так, что BN:B1N = 1:4. Если B1 имеет координаты (a, 0, 0), то N имеет координаты \(\left(\frac{4}{5}a, 0, 0\right)\).

Точка A находится на отрезке A1M так, что A1M:MD1 = 1:1. Если A1 имеет координаты (a, a, 0), то M имеет координаты \(\left(a, \frac{1}{2}a, 0\right)\).

Теперь, когда у нас есть координаты точек B, N, A, M, мы можем найти векторное произведение их направляющих векторов, чтобы найти косинус угла между прямыми BN и AM.

Направляющий вектор для прямой BN равен \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{B} = \left(\frac{4}{5}a, 0, 0\right) - (0, 0, 0) = \left(\frac{4}{5}a, 0, 0\right)\).

Направляющий вектор для прямой AM равен \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} = \left(a, \frac{1}{2}a, 0\right) - (a, a, 0) = (0, -\frac{1}{2}a, 0)\).

Теперь найдем скалярное произведение этих двух векторов:

\(\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AM} = \left(\frac{4}{5}a, 0, 0\right) \cdot (0, -\frac{1}{2}a, 0) = \frac{4}{5}a \cdot 0 + 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}a\right) + 0 \cdot 0 = 0\).

Таким образом, мы получаем, что скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

\(\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AM} = |\overrightarrow{BN}| \cdot |\overrightarrow{AM}| \cdot \cos(\alpha)\).

Поскольку скалярное произведение равно нулю, а модули векторов BN и AM не равны нулю, это может быть только тогда, когда косинус угла \(\alpha\) равен нулю.

Таким образом, косинус угла между прямыми BN и AM в данной задаче равен нулю.