а) Вершины пирамиды DABC – A(-1;0;1), B(5;0;1), C(2;3√3;1), D(2;√3;3). Подтвердите, что пирамида DABC является

а) Чтобы подтвердить, что пирамида DABC является правильной, нужно проверить, выполнены ли следующие условия:

1. Вершины пирамиды лежат на одной плоскости.
2. Все ребра пирамиды имеют одинаковую длину.
3. Все грани пирамиды являются равносторонними треугольниками.

Давайте посмотрим, выполняются ли эти условия для пирамиды DABC:

1. Проверка положения вершин:

Мы можем использовать векторное произведение двух векторов, образованных любыми тремя вершинами, чтобы определить, лежат ли они на одной плоскости. Если векторное произведение равно нулю, то вершины лежат на одной плоскости.

Для векторов \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) (где \(\overrightarrow{AB}\) представляет вектор, соединяющий вершину A и вершину B, и так далее), выполним следующую проверку:

\(\overrightarrow{AB} = (5 - (-1), 0 - 0, 1 - 1) = (6, 0, 0)\)
\(\overrightarrow{AC} = (2 - (-1), 3\sqrt{3} - 0, 1 - 1) = (3, 3\sqrt{3}, 0)\)
\(\overrightarrow{AD} = (2 - (-1), \sqrt{3} - 0, 3 - 1) = (3, \sqrt{3}, 2)\)

Теперь вычислим их векторное произведение:

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
6 & 0 & 0 \\
3 & 3\sqrt{3} & 0 \\
\end{vmatrix} = (0, 0, 18\sqrt{3}) \neq (0, 0, 0)\)

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
6 & 0 & 0 \\
3 & \sqrt{3} & 2 \\
\end{vmatrix} = (0, -12, 18\sqrt{3}) \neq (0, 0, 0)\)

\(\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
3 & 3\sqrt{3} & 0 \\
3 & \sqrt{3} & 2 \\
\end{vmatrix} = (-6\sqrt{3}, -6, -6\sqrt{3}) \neq (0, 0, 0)\)

Векторное произведение не равно нулю для всех трех комбинаций векторов, поэтому мы можем заключить, что вершины пирамиды DABC не находятся на одной плоскости.

2. Проверка длин ребер:

Теперь давайте вычислим длины всех ребер пирамиды DABC и проверим, равны ли они друг другу.

Для этого используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

Длина ребра AB:
\(d_{AB} = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{36} = 6\)

Длина ребра AC:
\(d_{AC} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{30 + 27 + 0} = \sqrt{57}\)

Длина ребра AD:
\(d_{AD} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (\sqrt{3} - 0)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{9 + 3 + 4} = \sqrt{16} = 4\)

Длина ребра BC:
\(d_{BC} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (3\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{9 + 27 + 0} = \sqrt{36} = 6\)

Длина ребра BD:
\(d_{BD} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (\sqrt{3} - 0)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{9 + 3 + 4} = \sqrt{16} = 4\)

Длина ребра CD:
\(d_{CD} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (0 - 3\sqrt{3})^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{9 + 27 + 0} = \sqrt{36} = 6\)

Мы видим, что длины ребер AB, BC и CD равны между собой (6), а длина ребра AD и BD также равна между собой (4).

3. Проверка равносторонности граней:

Чтобы проверить, являются ли грани пирамиды DABC равносторонними треугольниками, нужно проверить длины всех сторон каждой грани и убедиться, что они равны.

Так как мы уже проверили длины ребер пирамиды DABC, можем сделать следующие выводы:

Грань DAB:
d_{AB} = 6, d_{AD} = 4, d_{BD} = 4

Грань DAC:
d_{AC} = \sqrt{57}, d_{AD} = 4, d_{CD} = 6

Грань DBC:
d_{BC} = 6, d_{BD} = 4, d_{CD} = 6

Грань ABC:
d_{AB} = 6, d_{BC} = 6, d_{AC} = \sqrt{57}

Обратите внимание, что длины сторон не совпадают, поэтому грани пирамиды DABC не являются равносторонними треугольниками.

Исходя из результатов анализа, мы можем сделать вывод, что пирамида DABC не является правильной. Она не имеет равных сторон равносторонних треугольников на своих гранях и вершины не лежат на одной плоскости.

б) Чтобы определить координаты основания апофемы пирамиды, нужно знать координаты вершины пирамиды и высоту этой пирамиды.

Основание апофемы пирамиды, которое находится в грани, представляет собой правильный (равносторонний) треугольник. Апофема относительно этого основания - это высота треугольника, проведенная из его вершины к центру основания.

Но в данной задаче нам не дана информация о высоте пирамиды, поэтому мы не можем определить координаты основания апофемы. Если у вас есть дополнительные данные или задание, где есть информация о высоте пирамиды, я смогу помочь вам найти координаты основания апофемы.