Каков косинус наименьшего угла трапеции, если её основания равны 4 и 10 и боковые стороны равны 3корня из 13

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать определение косинуса угла и свойства трапеции.

Для начала, нам нужно найти высоту трапеции. Так как боковые стороны трапеции равны 3√13, а основания равны 4 и 10, то мы можем построить прямоугольный треугольник, где один катет равен 4, другой катет равен 10-4=6, а гипотенуза равна 3√13.

Применяя теорему Пифагора, мы можем найти высоту треугольника:

\[h = \sqrt{(3\sqrt{13})^2 - 6^2}\]
\[h = \sqrt{9 \cdot 13 - 36}\]
\[h = \sqrt{117 - 36}\]
\[h = \sqrt{81}\]
\[h = 9\]

Теперь, когда у нас есть высота треугольника, мы можем найти синус наименьшего угла трапеции, используя формулу:

\[\sin(\text{угол}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\]

В данном случае, наименьший угол треугольника находится напротив основания 4, поэтому мы будем использовать противолежащий катет 4:

\[\sin(\text{наименьший угол}) = \frac{4}{9}\]

Наконец, чтобы найти косинус наименьшего угла, мы используем тождество:

\[\cos(\text{наименьший угол}) = \sqrt{1 - \sin^2(\text{наименьший угол})}\]

Подставляем найденное значение синуса:

\[\cos(\text{наименьший угол}) = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{9}\right)^2}\]
\[\cos(\text{наименьший угол}) = \sqrt{1 - \frac{16}{81}}\]
\[\cos(\text{наименьший угол}) = \sqrt{\frac{81}{81} - \frac{16}{81}}\]
\[\cos(\text{наименьший угол}) = \sqrt{\frac{65}{81}}\]

Получили, что косинус наименьшего угла трапеции равен \(\frac{\sqrt{65}}{9}\).