Каков коэффициент при заданном одночлене х в выражении (2а-b)^6, если х=а³?

Каков коэффициент при заданном одночлене х в выражении (2а-b)^6, если х=а³?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Синица_8270

Синица_8270

Хорошо, давайте решим эту задачу вместе. У нас есть выражение (2аb)6 и нам нужно найти коэффициент при заданном одночлене х, где х=а3.

Для начала разберемся, что значит выражение в скобках (2аb), возведенное в шестую степень. По сути, это означает, что мы делим этот многочлен на шесть одинаковых множителей и умножаем их вместе. Давайте разложим этот многочлен, чтобы понять, какие члены в нем будут содержать х=а3.

Распишем выражение (2аb)6 по биному Ньютона:

(2аb)6=C(6,0)(2а)6(b)0+C(6,1)(2а)5(b)1+C(6,2)(2а)4(b)2+C(6,3)(2а)3(b)3+C(6,4)(2а)2(b)4+C(6,5)(2а)1(b)5+C(6,6)(2а)0(b)6

Здесь C(n,k) - биномиальные коэффициенты, равные количеству способов выбрать k элементов из n элементов. В нашем случае, n=6, так как выражение возводится в шестую степень.

Теперь давайте найдем те члены, которые содержат х=а3. Мы заметим, что х присутствует только в последнем члене выражения:

C(6,3)(2а)3(b)3

Здесь биномиальный коэффициент C(6,3) равен 6!3!(63)!=6!3!3!=654321=20.

Таким образом, коэффициент при одночлене х=а3 равен:

20(2а)3(b)3=208а3(b)3=160а3b3

Ответ: коэффициент при заданном одночлене х=а3 в выражении (2аb)6 равен 160а3b3.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello