Каков коэффициент при заданном одночлене х в выражении (2а-b)^6, если х=а³?

Хорошо, давайте решим эту задачу вместе. У нас есть выражение \((2а-b)^6\) и нам нужно найти коэффициент при заданном одночлене \(х\), где \(х = а^3\).

Для начала разберемся, что значит выражение в скобках \((2а-b)\), возведенное в шестую степень. По сути, это означает, что мы делим этот многочлен на шесть одинаковых множителей и умножаем их вместе. Давайте разложим этот многочлен, чтобы понять, какие члены в нем будут содержать \(х = а^3\).

Распишем выражение \((2а-b)^6\) по биному Ньютона:

\[(2а-b)^6 = C(6,0)(2а)^6(-b)^0 + C(6,1)(2а)^5(-b)^1 + C(6,2)(2а)^4(-b)^2 + C(6,3)(2а)^3(-b)^3 + C(6,4)(2а)^2(-b)^4 + C(6,5)(2а)^1(-b)^5 + C(6,6)(2а)^0(-b)^6\]

Здесь \(C(n,k)\) - биномиальные коэффициенты, равные количеству способов выбрать \(k\) элементов из \(n\) элементов. В нашем случае, \(n = 6\), так как выражение возводится в шестую степень.

Теперь давайте найдем те члены, которые содержат \(х = а^3\). Мы заметим, что \(х\) присутствует только в последнем члене выражения:

\[C(6,3)(2а)^3(-b)^3\]

Здесь биномиальный коэффициент \(C(6,3)\) равен \(\frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\).

Таким образом, коэффициент при одночлене \(х = а^3\) равен:

\[20 \cdot (2а)^3 \cdot (-b)^3 = 20 \cdot 8а^3 \cdot (-b)^3 = -160а^3b^3\]

Ответ: коэффициент при заданном одночлене \(х = а^3\) в выражении \((2а-b)^6\) равен \(-160а^3b^3\).