Каков кинематический закон движения груза массой 1,6 кг, который подвешен на легкой пружине жесткостью 40 Н/м, если

Кинематический закон движения груза, подвешенного на пружине, описывается уравнением гармонических колебаний:

\[x = A \cdot \cos(\omega t + \phi)\]

где:
\(x\) - координата груза в момент времени \(t\),
\(A\) - амплитуда колебаний (6,0 см в данной задаче),
\(\omega\) - угловая частота (в радианах в секунду),
\(\phi\) - начальная фаза колебаний.

Для нахождения угловой частоты, обратимся к закону Гука для пружины:

\[F = -k \cdot x\]

где:
\(F\) - сила, действующая на груз,
\(k\) - жесткость пружины (40 Н/м),
\(x\) - смещение груза относительно равновесного положения.

Учитывая, что сила пружины равна массе груза, умноженной на ускорение груза (\(F = m \cdot a\)), и что ускорение можно выразить как вторую производную координаты по времени (\(a = \frac{{d^2 x}}{{dt^2}}\)), получим:

\(-k \cdot x = m \cdot \frac{{d^2 x}}{{dt^2}}\)

или

\(\frac{{d^2 x}}{{dt^2}} + \frac{{k}}{{m}} \cdot x = 0\)

Сравнивая это дифференциальное уравнение с общим уравнением гармонических колебаний (\(\frac{{d^2 x}}{{dt^2}} + \omega^2 \cdot x = 0\)), можем сделать вывод, что

\(\omega^2 = \frac{{k}}{{m}}\)

Таким образом,

\(\omega = \sqrt{\frac{{k}}{{m}}}\)

Подставляя значения \(k = 40 \, \text{Н/м}\) и \(m = 1,6 \, \text{кг}\), получаем:

\(\omega = \sqrt{\frac{{40}}{{1,6}}}\)

\(\omega \approx 5 \, \text{рад/с}\)

Итак, кинематический закон движения груза массой 1,6 кг на пружине с жесткостью 40 Н/м и амплитудой 6,0 см будет выглядеть следующим образом:

\[x = 0,06 \cdot \cos(5t + \phi)\]

где \(t\) - время, а \(\phi\) - начальная фаза колебаний, которая задана на рисунке (пусть равняется 0, если на рисунке груз показан в своем равновесном положении).