Каков интеграл dx/√(3x+2) после замены переменной t=3x+2?
Софья
Конечно! Чтобы найти интеграл \(\int \frac{{dx}}{{\sqrt{{3x + 2}}}}\) после замены переменной \(t = 3x + 2\), мы сделаем следующие шаги:
1. Выразим \(dx\) через \(dt\):
\[dt = \frac{{d(3x + 2)}}{{dx}} = 3 \, dx\]
Отсюда получаем \(dx = \frac{{dt}}{{3}}\).
2. Заменим переменные в исходном интеграле:
\[\int \frac{{dx}}{{\sqrt{{3x + 2}}}} = \int \frac{{dt}}{{3 \sqrt{{t}}}}\]
3. Разделим константу \(\frac{1}{3}\) на интеграл:
\[\int \frac{{dt}}{{3 \sqrt{{t}}}} = \frac{1}{3} \int \frac{{dt}}{{\sqrt{{t}}}}\]
4. Найдем интеграл \(\int \frac{{dt}}{{\sqrt{{t}}}}\):
Этот интеграл \(\int \frac{{dt}}{{\sqrt{{t}}}}\) можно рассматривать как интеграл от \(t^{\frac{{-1}}{{2}}}\). Возьмем его интеграл:
\[\int t^\frac{{-1}}{{2}} \, dt = 2t^\frac{{1}}{{2}} + C\]
Здесь \(C\) - произвольная постоянная.
5. Подставим обратную замену \(t = 3x + 2\):
\[\frac{1}{3} \int \frac{{dt}}{{\sqrt{{t}}}} = \frac{1}{3} (2t^\frac{{1}}{{2}} + C) = \frac{2}{3} (3x + 2)^\frac{{1}}{{2}} + C\]
где \(C\) - произвольная постоянная.
Таким образом, интеграл \(\int \frac{{dx}}{{\sqrt{{3x + 2}}}}\) после замены переменной \(t = 3x + 2\) равен \(\frac{2}{3} (3x + 2)^\frac{{1}}{{2}} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.
1. Выразим \(dx\) через \(dt\):
\[dt = \frac{{d(3x + 2)}}{{dx}} = 3 \, dx\]
Отсюда получаем \(dx = \frac{{dt}}{{3}}\).
2. Заменим переменные в исходном интеграле:
\[\int \frac{{dx}}{{\sqrt{{3x + 2}}}} = \int \frac{{dt}}{{3 \sqrt{{t}}}}\]
3. Разделим константу \(\frac{1}{3}\) на интеграл:
\[\int \frac{{dt}}{{3 \sqrt{{t}}}} = \frac{1}{3} \int \frac{{dt}}{{\sqrt{{t}}}}\]
4. Найдем интеграл \(\int \frac{{dt}}{{\sqrt{{t}}}}\):
Этот интеграл \(\int \frac{{dt}}{{\sqrt{{t}}}}\) можно рассматривать как интеграл от \(t^{\frac{{-1}}{{2}}}\). Возьмем его интеграл:
\[\int t^\frac{{-1}}{{2}} \, dt = 2t^\frac{{1}}{{2}} + C\]
Здесь \(C\) - произвольная постоянная.
5. Подставим обратную замену \(t = 3x + 2\):
\[\frac{1}{3} \int \frac{{dt}}{{\sqrt{{t}}}} = \frac{1}{3} (2t^\frac{{1}}{{2}} + C) = \frac{2}{3} (3x + 2)^\frac{{1}}{{2}} + C\]
где \(C\) - произвольная постоянная.
Таким образом, интеграл \(\int \frac{{dx}}{{\sqrt{{3x + 2}}}}\) после замены переменной \(t = 3x + 2\) равен \(\frac{2}{3} (3x + 2)^\frac{{1}}{{2}} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
