Каков характер изменения последовательности yn=n^2/6^n? Докажи свое утверждение. Запиши упрощенное выражение

Для решения данной задачи, нам нужно рассмотреть последовательность \(y_n = \frac{n^2}{6^n}\) и выяснить, как изменяется ее характер.

Сначала, давайте запишем несколько первых членов последовательности, чтобы увидеть, как она развивается:
\(y_1 = \frac{1^2}{6^1} = \frac{1}{6} = 0.1667\)
\(y_2 = \frac{2^2}{6^2} = \frac{4}{36} = 0.1111\)
\(y_3 = \frac{3^2}{6^3} = \frac{9}{216} = 0.0417\)
\(y_4 = \frac{4^2}{6^4} = \frac{16}{1296} = 0.0123\)
...
Заметим, что числитель \(n^2\) увеличивается при каждом новом члене, в то время как знаменатель \(6^n\) увеличивается гораздо быстрее. Это означает, что с каждым последующим членом дроби ее значение будет меньше.

Для доказательства нашего утверждения, воспользуемся математической индукцией:
Шаг 1: Базовый случай
Проверим истинность утверждения для \(n = 1\). Как мы уже вычислили, \(y_1 = \frac{1^2}{6^1} = \frac{1}{6} = 0.1667\).
Шаг 2: Предположение
Предположим, что утверждение верно для \(n = k\), то есть \(y_k > y_{k+1}\).
Шаг 3: Доказательство
Докажем, что утверждение верно для \(n = k+1\).
Для этого рассмотрим разности членов последовательности:
\(y_{k+1} - y_k = \frac{(k+1)^2}{6^{(k+1)}} - \frac{k^2}{6^k}\)
Вынесем общий знаменатель и упростим:
\(y_{k+1} - y_k = \frac{(k+1)^2 \cdot 6^k - k^2 \cdot 6^{k+1}}{6^{k+1}}\)
Раскроем скобки, выполнив умножение:
\(y_{k+1} - y_k = \frac{k^2 + 2k + 1 - 6k^2}{6^{k+1}}\)
Упростим числитель:
\(y_{k+1} - y_k = \frac{-5k^2 + 2k + 1}{6^{k+1}}\)

Теперь рассмотрим знак этой разности:
\(-5k^2 + 2k + 1\)
Это квадратичная функция, заданная с коэффициентами \(-5\), \(2\) и \(1\). Определим знак этой функции, чтобы понять, как изменяется разность \(y_{k+1} - y_k\) при увеличении значения \(k\).

Для этого найдем вершины параболы, производную и совершим исследование знака производной:
\[k_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot (-5)} = \frac{1}{5}\]
\[f"(k) = -10k + 2\]
Подставим \(k_v = \frac{1}{5}\) в \(f"(k)\) и сравним полученное значение с нулем:
\[f"\left(\frac{1}{5}\right) = -10 \cdot \frac{1}{5} + 2 = -2 + 2 = 0\]
Учитывая то, что производная \(f"(k)\) равна нулю, а коэффициент \(-10\) перед \(k\) является отрицательным, парабола будет направлена вниз и пересекать \(x\)-ось в точке с положительной ординатой. Таким образом, функция \(f(k) = -5k^2 + 2k + 1\) всегда принимает только положительные значения (кроме \(k = 0\)).

Следовательно, \(y_{k+1} - y_k > 0\) для любого значения \(k\), и, таким образом, последовательность \(y_n = \frac{n^2}{6^n}\) является убывающей.

Необходимость монотонности в виде формулы подтверждается следующим образом:
\[y_{k+1} - y_k = \frac{-5k^2 + 2k + 1}{6^{k+1}} > 0\]

Итак, ответ на задачу: последовательность \(y_n = \frac{n^2}{6^n}\) является монотонной и убывающей.