Каков электрический момент p тонкого стержня длиной l, если его линейная плотность заряда t зависит от расстояния

Хорошо! Для решения данной задачи, мы можем использовать метод интегрирования. Для начала, нам нужно выразить момент элемента стержня \(dp\) через линейную плотность заряда \(t\). Затем, мы проинтегрируем это выражение по всей длине стержня.

Момент элемента стержня \(dp\) определяется как произведение линейной плотности заряда \(t\) на элементарный участок длины \(dx\). То есть, мы можем записать:

\[dp = t \cdot dx\]

Теперь, зная, что \(t = a(2x-l)\), мы можем заменить \(t\) в уравнении и проинтегрировать:

\[\int dp = \int a(2x-l) \cdot dx\]

После выполнения интегрирования, получаем:

\[p = \int a(2x-l) \cdot dx\]

Раскроем скобки:

\[p = \int (2ax - al) \cdot dx\]

Далее, проинтегрируем оба слагаемых по отдельности:

\[p = \int 2ax \cdot dx - \int al \cdot dx\]

Итак, первый интеграл равен:

\[\int 2ax \cdot dx = a \int 2x \cdot dx = a \left( x^2 + C_1 \right)\]

Где \(C_1\) - константа интегрирования.

Второй интеграл равен:

\[\int al \cdot dx = al \int dx = alx + C_2\]

Где \(C_2\) - ещё одна константа интегрирования.

Таким образом, представленное уравнение момента стержня \(p\) примет вид:

\[p = a \left( x^2 + C_1 \right) - alx + C_2\]

Мы можем объединить константы интегрирования \(C_1\) и \(C_2\) в одну константу \(C\):

\[p = a \left( x^2 - lx \right) + C\]

Таким образом, мы получили выражение для электрического момента \(p\) тонкого стержня длиной \(l\) и линейной плотностью заряда \(t = a(2x-l)\):

\[p = a \left( x^2 - lx \right) + C\]

Надеюсь, это решение понятно и полезно для вас! Если у вас возникли ещё какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.