Каков диапазон значений функции f(x)=log2(x-2)? Где функция возрастает и убывает? Постройте график функции

Конечно! Для заданной функции \( f(x) = \log_2(x-2) \) нам нужно определить диапазон значений, возрастание и убывание функции, а также построить ее график.

1. Диапазон значений функции:
Для того чтобы найти диапазон значений функции, мы должны сначала рассмотреть область определения функции. В данном случае, область определения функции \( f(x) \) это все значения \( x \), для которых аргумент функции \( x-2 \) больше нуля (т.к. логарифм отрицательных чисел не определен). То есть, \( x > 2 \).

Теперь давайте определим диапазон значений. Так как функция \( f(x) = \log_2(x-2) \) - логарифм по основанию 2, то диапазон будет состоять из всех возможных значений, которые может принимать данный логарифм. Поскольку основание равно 2, то диапазон значений логарифма будет всеми действительными числами.

Таким образом, диапазон значений для функции \( f(x) = \log_2(x-2) \) будет представлять собой все действительные числа.

2. Возрастание и убывание функции:
Для определения возрастания и убывания функции \( f(x) = \log_2(x-2) \) мы должны проанализировать производную функции. Производная функции помогает определить поведение функции на промежутках.

Давайте найдем производную функции \( f(x) \):
\[ f"(x) = \frac{1}{{(x-2) \ln 2}} \]

Теперь найдем критические точки, то есть точки, где производная равна нулю или не существует.
\[ f"(x) = 0 \]
\[ \frac{1}{{(x-2) \ln 2}} = 0 \]
Производная не может быть равна нулю, так как в знаменателе у нас есть \(x-2\), а это никогда не равно нулю. Таким образом, у функции \( f(x) = \log_2(x-2) \) нет критических точек.

Исходя из этого, мы можем сказать, что функция \( f(x) = \log_2(x-2) \) возрастает на всей области определения, так как производная всегда положительна.

3. Построение графика:
Для построения графика функции \( f(x) = \log_2(x-2) \) мы можем использовать найденную информацию о диапазоне значений и поведении функции.

График будет проходить через точку (2, -∞), так как функция не определена при \( x = 2 \).

Также, учитывая, что функция возрастает на всей области определения, график будет стремиться к положительной бесконечности при \( x \rightarrow +\infty \).

Используя эту информацию, можно построить график функции \( f(x) = \log_2(x-2) \).