Каков диаметр основания конуса, у которого образующие наклонены к плоскости

Question

Геометрия: Каков диаметр основания конуса, у которого образующие наклонены к плоскости основания под углом 45° и объем равен 9п? Пожалуйста, предоставьте ответ с объяснением

Belka · Accepted Answer

Хорошо, чтобы определить диаметр основания конуса, у нас есть несколько вариантов. Давайте воспользуемся объемом конуса и знанием тригонометрических соотношений.

Объем конуса можно выразить следующей формулой: \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота конуса. Мы знаем, что объем равен \(9\pi\), поэтому у нас есть уравнение: \(\frac{1}{3}\pi r^2 h = 9\pi\).

Также, мы знаем, что образующие конуса наклонены к плоскости основания под углом 45°. Это значит, что отношение высоты к радиусу основания равно \(\sqrt{2}\) (так как \(\tan 45° = \frac{h}{r} = \sqrt{2}\)).

Теперь мы можем составить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{3}\pi r^2 h = 9\pi \\
\frac{h}{r} = \sqrt{2}
\end{cases}
\]

Мы можем решить эту систему, подставив второе уравнение в первое:
\[
\frac{1}{3}\pi r^2 (\sqrt{2}r) = 9\pi
\]
\[
\frac{1}{3}(\sqrt{2}r^3) = 9
\]
\[
\sqrt{2}r^3 = 27
\]

Теперь найдем радиус основания:
\[
r^3 = \frac{27}{\sqrt{2}}
\]
\[
r = \sqrt[3]{\frac{27}{\sqrt{2}}}
\]

Наконец, мы можем найти диаметр основания, умножив радиус на 2:
\[
\text{Диаметр} = 2r = 2\sqrt[3]{\frac{27}{\sqrt{2}}}
\]

Полученное значение диаметра основания будет ответом на нашу задачу.

Каков диаметр основания конуса, у которого образующие наклонены к плоскости основания под углом 45° и объем равен

Belka

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!