Каков будет периметр треугольника, подобного данному треугольнику, если сумма его наибольшей и наименьшей стороны

Хорошо, давайте решим задачу. Для начала, вспомним, что два треугольника называются подобными, если соответствующие углы этих треугольников равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Дано, что сумма наибольшей и наименьшей сторон треугольника составляет 108 см. Обозначим наибольшую сторону через \(a\), а наименьшую сторону через \(b\). Тогда сумма этих сторон равна \(a+b=108\) (1).

Так как треугольники подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. Обозначим стороны подобного треугольника через \(x\) и \(y\). Тогда мы можем записать пропорцию:

\(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\) (2).

Мы знаем, что \(\frac{a}{b}\) равно наибольшей стороне подобного треугольника, а \(\frac{x}{y}\) равно наибольшей стороне исходного треугольника. Поскольку наибольшая сторона исходного треугольника равна \(a\), а наибольшая сторона подобного треугольника равна \(x\), мы можем записать:

\(\frac{a}{b} = \frac{x}{108}\) (3).

Теперь мы можем решить систему уравнений (1), (2) и (3) для нахождения значения периметра подобного треугольника.

Для начала, из (1) мы можем выразить \(a\) через \(b\): \(a = 108-b\).

Подставим это значение в (3):

\(\frac{108-b}{b} = \frac{x}{108}\).

Упростим эту пропорцию, умножив обе части на \(b\):

\(108-b = \frac{bx}{108}\).

Теперь из (2) мы можем выразить \(x\) через \(y\): \(x = \frac{ay}{b}\).

Подставим это значение в уравнение:

\(108-b = \frac{b \cdot \frac{ay}{b}}{108}\).

Упростим уравнение, умножив обе части на 108 и затем сократив на \(b\):

\(108 \cdot 108 - 108b = ay\).

Теперь из (1) мы можем выразить \(b\) через \(a\): \(b = 108-a\).

Подставим это значение в уравнение:

\(108 \cdot 108 - 108(108-a) = ay\).

Выполним расчеты:

\(11664 - 11664 + 108a = ay\).

Упростим это уравнение:

\(108a = ay\).

Раскроем скобки и сократим на \(a\):

\(108 = y\).

Таким образом, мы нашли значение стороны \(y\) подобного треугольника — 108 см.

Для нахождения значения стороны \(x\), подставим найденное значение \(y\) в (2):

\(\frac{a}{x} = \frac{b}{108}\).

Подставим выражение для \(b\) из (1):

\(\frac{a}{x} = \frac{108-a}{108}\).

Раскроем скобки:

\(\frac{a}{x} = \frac{108}{108} - \frac{a}{108}\).

Упростим уравнение:

\(\frac{a}{x} = 1 - \frac{a}{108}\).

Умножим обе части на \(x\) и сократим:

\(a = x - \frac{ax}{108}\).

Добавим \(\frac{ax}{108}\) к обеим частям:

\(a + \frac{ax}{108} = x\).

Раскроем скобки:

\(\frac{108a + ax}{108} = x\).

Упростим уравнение:

\(x = \frac{108a + ax}{108}\).

Факторизуем \(x\) по общему множителю:

\(x = \frac{a(108 + x)}{108}\).

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(x\).

Умножим обе части на 108 и раскроем скобки:

\(108x = a \cdot 108 + ax\).

Перенесем \(ax\) влево:

\(108x - ax = a \cdot 108\).

Факторизуем \(x\) и вынесем \(a\) за скобки:

\(x(108 - a) = a \cdot 108\).

Разделим обе части на \(108-a\):

\(x = \frac{a \cdot 108}{108-a}\).

Таким образом, мы нашли значение стороны \(x\) подобного треугольника:

\(x = \frac{a \cdot 108}{108-a}\).

Теперь мы можем найти периметр подобного треугольника, сложив все его стороны:

\(периметр = x + y + a\).

Подставим найденные значения:

\(периметр = \frac{a \cdot 108}{108-a} + 108 + a\).

Это выражение является окончательным ответом на задачу.

Мы проделали длинный процесс решения и объяснения этой задачи, чтобы обучающийся мог понять каждый шаг и логику решения.