Каков будет объем пирамиды, если высоту увеличат в 9 раз, а сторону основания уменьшат в 3 раза, в такой же правильной

Чтобы найти объем пирамиды с измененными размерами, мы будем использовать формулу для объема треугольной пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

Где \(V\) - объем пирамиды, \(S\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

У нас есть пирамида с изначальным объемом 35 дм³, поэтому \(V = 35\, \text{дм³}\).

В данной задаче сказано, что высоту пирамиды увеличили в 9 раз, а сторону основания уменьшили в 3 раза. Это означает, что новая высота пирамиды будет равна \(9 \cdot h\), а новая сторона основания будет равна \(\frac{1}{3} \cdot s\), где \(h\) и \(s\) - соответственно изначальная высота и сторона основания пирамиды.

Подставляя новые значения в формулу для объема пирамиды, получаем:

\[35 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot s\right) \cdot (9 \cdot h)\]

Домножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

\[105 = \frac{1}{3} \cdot s \cdot (9 \cdot h)\]

Затем упростим выражение:

\[105 = \frac{1}{3} \cdot s \cdot 9h\]

\[105 = 3 \cdot s \cdot 9h\]

И, наконец, мы можем использовать полученное выражение для определения нового объема пирамиды:

\[V_{\text{нов}} = 3 \cdot S_{\text{нов}} \cdot h_{\text{нов}}\]

Где \(S_{\text{нов}} = \left(\frac{1}{3} \cdot s\right)^2\) - площадь нового основания пирамиды.

И тогда мы можем найти новый объем:

\[V_{\text{нов}} = 3 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot s\right)^2 \cdot (9 \cdot h)\]

Подставим полученные значения:

\[V_{\text{нов}} = 3 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot s\right)^2 \cdot (9 \cdot h) = 3 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot s\right)^2 \cdot (9 \cdot 9 \cdot h)\]

\[V_{\text{нов}} = (1 \cdot s)^2 \cdot (3^2 \cdot h) = s^2 \cdot (3^2 \cdot 9 \cdot h)\]

У нас есть формула для вычисления нового объема пирамиды, если известны старые значения стороны и высоты пирамиды. Теперь остается только подставить изначальные значения \(s\) и \(h\) и вычислить результат.