Каков будет множитель увеличения площади боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 9 раз?

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для площади боковой поверхности конуса и её изменения при изменении образующей.

Формула для площади боковой поверхности конуса:

\[S = \pi r l,\]

где \(S\) - площадь боковой поверхности конуса, \(\pi\) - математическая константа, равная примерно 3.14, \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса.

Теперь нам нужно выразить площадь боковой поверхности конуса через образующую и найти множитель увеличения.

Пусть \(S_1\) - площадь боковой поверхности конуса до изменения образующей, а \(S_2\) - площадь боковой поверхности после изменения.

Выразим площадь через образующую:

\[S_1 = \pi r l_1,\]
\[S_2 = \pi r l_2,\]

где \(l_1\) - образующая конуса до изменения, а \(l_2\) - образующая конуса после изменения.

Множитель увеличения площади боковой поверхности конуса будет равен отношению площадей после и до изменения:

\[k = \frac{S_2}{S_1},\]

где \(k\) - искомый множитель.

Теперь заменим значения площадей через формулы:

\[k = \frac{\pi r l_2}{\pi r l_1}.\]

Заметим, что \(\pi\), \(r\) и \(l_1\) в числителе и знаменателе сокращаются:

\[k = \frac{l_2}{l_1}.\]

Таким образом, множитель увеличения площади боковой поверхности конуса будет равен отношению новой образующей к старой образующей.

В нашей задаче образующая увеличивается в 9 раз, то есть \(l_2 = 9l_1\). Подставим это значение в формулу:

\[k = \frac{9l_1}{l_1}.\]

Сокращаем \(l_1\):

\[k = 9.\]

Таким образом, множитель увеличения площади боковой поверхности конуса будет равен 9. При увеличении образующей в 9 раз, площадь боковой поверхности тоже увеличится в 9 раз.