Каков будет множитель увеличения площади боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 9 раз?

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для площади боковой поверхности конуса и её изменения при изменении образующей.

Формула для площади боковой поверхности конуса:

$$S=\pi rl,$$

где $S$ - площадь боковой поверхности конуса, $\pi$ - математическая константа, равная примерно 3.14, $r$ - радиус основания конуса, $l$ - образующая конуса.

Теперь нам нужно выразить площадь боковой поверхности конуса через образующую и найти множитель увеличения.

Пусть $S_1$ - площадь боковой поверхности конуса до изменения образующей, а $S_2$ - площадь боковой поверхности после изменения.

Выразим площадь через образующую:

$$S_1=\pi r{l}_1,$$
$$S_2=\pi r{l}_2,$$

где $l_1$ - образующая конуса до изменения, а $l_2$ - образующая конуса после изменения.

Множитель увеличения площади боковой поверхности конуса будет равен отношению площадей после и до изменения:

$$k=\frac{S_2}{S_1},$$

где $k$ - искомый множитель.

Теперь заменим значения площадей через формулы:

$$k=\frac{\pi r{l}_2}{\pi r{l}_1}.$$

Заметим, что $\pi$, $r$ и $l_1$ в числителе и знаменателе сокращаются:

$$k=\frac{l_2}{l_1}.$$

Таким образом, множитель увеличения площади боковой поверхности конуса будет равен отношению новой образующей к старой образующей.

В нашей задаче образующая увеличивается в 9 раз, то есть $l_2=9l_1$. Подставим это значение в формулу:

$$k=\frac{9l_1}{l_1}.$$

Сокращаем $l_1$:

$$k=9.$$

Таким образом, множитель увеличения площади боковой поверхности конуса будет равен 9. При увеличении образующей в 9 раз, площадь боковой поверхности тоже увеличится в 9 раз.