Каков объем пирамиды, определенной точками А(1;4;-1), В(4;2;2), С(-2;11;-1) и Д(-11;0;9)?

Чтобы найти объем пирамиды, определенной четырьмя вершинами А, В, С и Д, мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды, которая опирается на площадь основания и высоту пирамиды.

1. Найдем векторы AB, AC и AD, соединяющие вершину A с остальными вершинами пирамиды.
AB = B - A = (4 - 1) i + (2 - 4) j + (2 + 1) k = 3i - 2j + 3k
AC = C - A = (-2 - 1) i + (11 - 4) j + (-1 - (-1)) k = -3i + 7j - 1k
AD = D - A = (-11 - 1) i + (0 - 4) j + (9 - (-1)) k = -12i - 4j + 10k

2. Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC, чтобы найти площадь основания пирамиды.
AB × AC = (3i - 2j + 3k) × (-3i + 7j - 1k)
= (14i + 6j + 25k)

Модуль этого векторного произведения равен площади основания пирамиды: S = |AB × AC| = √(14^2 + 6^2 + 25^2) = √(196 + 36 + 625) = √857.

3. Найдем высоту пирамиды, которая будет перпендикулярна основанию и проходит через вершину A. Для этого найдем проекцию вектора AD на вектор AB × AC.
h = |AD · (AB × AC)| / |AB × AC|, где |AD · (AB × AC)| - скалярное произведение векторов AD и (AB × AC).
AD · (AB × AC) = (-12i - 4j + 10k) · (14i + 6j + 25k) = -168 + (-24) + 250 = 58.
h = |AD · (AB × AC)| / |AB × AC| = 58 / √857.

4. Теперь, используя найденные значения площади основания S и высоты h, мы можем найти объем пирамиды по формуле: V = (1/3) * S * h.
V = (1/3) * √857 * (58 / √857) = 1/3 * 58 = 58 / 3.

Итак, объем пирамиды, определенной точками А(1;4;-1), В(4;2;2), С(-2;11;-1) и Д(-11;0;9), равен 58 / 3.