Какого размера должны быть астероиды, чтобы было возможно играть в футбол на них, при условии, что хороший футболист

Чтобы определить, какого размера должны быть астероиды для игры в футбол, мы учтем скорость, с которой футболист способен придать мячу, и предполагаемую плотность астероидов.

Для начала, нам понадобятся некоторые физические константы. Предположим, что плотность астероидов равна плотности средней скалы, которая составляет примерно 2800 кг/м^3.

Зная скорость придаваемую футболистом \(v = 30 \, \text{м/с}\), мы можем использовать закон сохранения энергии для нахождения размера астероида.

Энергия кинетическая \(E_k\) мяча с массой \(m\) равна \(E_k = \frac{1}{2} m v^2\).
Энергия потенциальная \(E_p\) мяча, когда он находится на поверхности астероида, равна \(E_p = m g h\), где \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота, на которой располагается поверхность астероида.

Так как энергия сохраняется, то \(E_k = E_p\). Подставим значения и найдем высоту:

\[\frac{1}{2} m v^2 = m g h\]

Отменим массу \(m\):

\[\frac{1}{2} v^2 = g h\]

Так как ускорение свободного падения \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\), подставим значение:

\[\frac{1}{2} v^2 = 9.8 \cdot h\]

Теперь найдем радиус \(r\) астероида. Объем шара равен \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\) и масса \(m\) равна плотности \(\rho\) умноженной на объем \(V\), то есть \(m = \rho V\).

Подставим значения и решим уравнение для радиуса:

\[\frac{1}{2} v^2 = 9.8 \cdot \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) \cdot \rho\]

Очистим уравнение от постоянных коэффициентов и найдем выражение для радиуса \(r\):

\[r^3 = \frac{3 v^2}{4 \cdot 9.8 \cdot \pi \cdot \rho}\]

Чтобы найти радиус, возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{3}\):

\[r = \left( \frac{3 v^2}{4 \cdot 9.8 \cdot \pi \cdot \rho} \right)^{\frac{1}{3}}\]

Таким образом, чтобы играть в футбол на астероиде, радиус астероида должен быть примерно равен выражению:

\[r = \left( \frac{3 \cdot (30 \, \text{м/с})^2}{4 \cdot 9.8 \cdot \pi \cdot 2800 \, \text{кг/м}^3} \right)^{\frac{1}{3}}\]

Подставив значения и произведя вычисления, мы найдем необходимый размер астероида.