Какое значение y=8x - ln(x+12)^8 будет наименьшим на отрезке [11,5;0]?

Для решения этой задачи нам потребуется найти минимальное значение функции \(y = 8x - \ln{(x+12)}^8\) на отрезке \([-11,5;0]\).

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Это поможет нам найти критические точки и определить, где на отрезке находится минимальное значение функции. Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования функции суммы и правилом дифференцирования сложной функции.

\[
\frac{dy}{dx} = 8 - \frac{8(x+12)^7}{x+12}
\]

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная функции равна нулю или не существует. Решим уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\).

\[
8 - \frac{8(x+12)^7}{x+12} = 0
\]

Упростим уравнение:

\[
8(x+12) - 8(x+12)^7 = 0
\]

\[
(x+12) - (x+12)^7 = 0
\]

Заметим, что одно из решений этого уравнения является \(x = -12\). Но так как отрезок \([-11,5; 0]\) не включает это значение, это решение нас не интересует.

Шаг 3: Найдем значения функции \(y\) в точках, где \(\frac{dy}{dx}\) не существует. На отрезке \([-11,5; 0]\) производная не будет иметь разрывы или несуществующие значения.

Шаг 4: Найдем значения функции \(y\) в граничных точках отрезка \([-11,5; 0]\), то есть при \(x = -11,5\) и \(x = 0\).

Для \(x = -11,5\):
\[
y = 8(-11,5) - \ln{(-11,5+12)}^8 = -92 - \ln{0,5}^8
\]

Для \(x = 0\):
\[
y = 8(0) - \ln{(0+12)}^8 = 0 - \ln{12}^8
\]

Шаг 5: Определение минимального значения функции \(y\) на отрезке \([-11,5; 0]\). Сравним значения функции, полученные на шаге 4, и выберем наименьшее из них.

Итак, наименьшим значением функции \(y = 8x - \ln{(x+12)}^8\) на отрезке \([-11,5; 0]\) будет:
\[
y = -92 - \ln{0,5}^8
\]

Мы использовали метод нахождения критических точек и граничных значений функции, чтобы найти минимальное значение. Надеюсь, это решение понятно для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.