Какое значение x необходимо, чтобы трехчлен 2x^2-8x+10 принимал наименьшее значение?

Чтобы найти значение x, при котором трехчлен \(2x^2-8x+10\) принимает наименьшее значение, мы можем воспользоваться методом полного квадрата. Для этого нам нужно привести трехчлен к виду квадратного трехчлена.

1. Сначала давайте преобразуем данное выражение, выделив квадратным трехчленом первые два члена. Для этого мы умножим коэффициент при \(x\) в обоих членах на половину коэффициента перед \(x\) в исходной формуле:
\[2\left(x^2-4x\right)+10.\]

2. Затем мы добавим и вычтем одно и то же число в скобках. Для этого мы должны возвести в квадрат полученное число и вычесть его. Мы добавим и вычтем значение \(\left(\frac{{4}}{{2}}\right)^2 = 4\) в скобках:
\[2\left(x^2-4x+4-4\right)+10.\]

3. Теперь у нас есть возможность выделить полный квадрат в скобках, который упростит формулу и поможет нам найти значение x:
\[2\left[\left(x-2\right)^2-4\right]+10.\]

4. Продолжая раскрывать скобки, получим:
\[2\left(x-2\right)^2-8+10,\]
\[2\left(x-2\right)^2+2.\]

Теперь наш трехчлен выглядит в виде полного квадрата \(2\left(x-2\right)^2+2\). По правилам алгебры, квадратное выражение \((x-2)^2\) всегда неотрицательно, а значит, минимальное значение трехчлена достигается, когда это выражение равно нулю. Следовательно, для достижения наименьшего значения трехчлена \(2x^2-8x+10\), \(x-2\) должен быть равен нулю:
\[x-2=0.\]

5. Решим это уравнение относительно x:
\[x=2.\]

Таким образом, значение x, при котором трехчлен \(2x^2-8x+10\) принимает наименьшее значение, составляет 2.