Какое значение второй производной функции y=0,5x arctgx при х0 = -1 с точностью до 0,01?

Какое значение второй производной функции y=0,5x arctgx при х0 = -1 с точностью до 0,01?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Анатолий

Анатолий

Хорошо, давайте посмотрим, как решить задачу.
Для начала выражение "0,5x arctgx" является функцией. Чтобы найти вторую производную этой функции, нам нужно сначала найти первую производную, а затем вторую.

Начнем с первой производной. Для нахождения первой производной функции y=0,5x arctgx, мы можем использовать правило дифференцирования произведения функций.

Для начала возьмем производную по переменной x от функции 0,5x. Это просто будет 0,5.

Затем возьмем производную по переменной x от функции arctgx. Здесь нам потребуется использовать правило дифференцирования обратной функции.

Формула для нахождения производной обратной функции выглядит так: (f1)"(x)=1f"(f1(x))

В случае функции arctgx производная равна 11+x2.

Применяя правило дифференцирования обратной функции, получаем, что производная функции arctgx равна 11+(arctgx)2.

Теперь мы можем перемножить эти две производные, чтобы получить первую производную функции y=0,5x arctgx:

(0,5)(11+(arctgx)2)

Теперь найденную первую производную функции мы можем продифференцировать, чтобы найти вторую производную.

Применим правило дифференцирования произведения функций для нашей первой производной:

((0,5)(11+(arctgx)2))"

Теперь нам нужно продифференцировать каждый множитель по переменной x.

Производная по переменной x от 0,5 равна нулю, так как это константа.

Производная по переменной x от 11+(arctgx)2 требует применения правила дифференцирования частного функций.

Правило дифференцирования частного функций выглядит так: (fg)"=f"gfg"g2

Дифференцируя 11+(arctgx)2 по переменной x, мы получаем:

2arctgx(1+(arctgx)2)2

Подставим это обратно в нашу первую производную:

(0,5)(2arctgx(1+(arctgx)2)2)

Таким образом, мы нашли вторую производную функции y=0,5x arctgx:

(0,5)(2arctgx(1+(arctgx)2)2)

Теперь давайте найдем значение второй производной при x0 = -1 с точностью до 0,01.
Для этого мы должны подставить x = -1 в выражение для второй производной и вычислить результат.

(0,5)(2arctg(1)(1+(arctg(1))2)2)

Чтобы вычислить это значение, оценим arctg(-1) и применим его.

arctg(-1) равно примерно -0.7854 радиан или -45 градусов.

Теперь, подставим в значение второй производной:

(0,5)(2(0,7854)(1+(0,7854)2)2)

Теперь воспользуемся калькулятором для численного вычисления этого значения. Итоговый ответ будет зависеть от точности калькулятора и ограничений на количество знаков после запятой.

Надеюсь, это решение позволяет вам понять, как найти вторую производную функции y=0,5x arctgx при получении значения x0 = -1 с точностью до 0,01. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, напишите.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello