Какое значение переменной t необходимо, чтобы разность дробей 1/t−7 и 9/t+7 равнялась их произведению?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно составить уравнение, и затем решить его для переменной t.

Итак, дано, что разность дробей \(\frac{1}{t} - 7\) и \(\frac{9}{t+7}\) равна их произведению.

Давайте напишем это в виде уравнения:

\(\frac{1}{t} - 7 = \frac{9}{t+7}\)

Чтобы упростить уравнение, сначала умножим обе части на \(t(t+7)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(t(t+7) \left( \frac{1}{t} - 7 \right) = t(t+7) \left( \frac{9}{t+7} \right)\)

\( (t+7) - 7t(t+7) = 9t\)

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

\(t + 7 - 7t^2 - 49t = 9t\)

На этом этапе, мы получили квадратное уравнение, которое нужно решить. Сгруппируем все члены на одной стороне уравнения:

\(7t^2 + 59t + 7 - 9t = 0\)

\(7t^2 + 50t + 7 = 0\)

Теперь, нам нужно решить это уравнение. Для этого можно использовать дискриминант или можно воспользоваться факторизацией (если возможно).

Так как это уравнение не факторизуемо, воспользуемся дискриминантом. Формула дискриминанта имеет вид:

\(D = b^2 - 4ac\)

Где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения \(at^2 + bt + c = 0\).

В нашем случае: \(a = 7\), \(b = 50\), \(c = 7\)

Рассчитаем значение дискриминанта D:

\(D = 50^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304\)

Так как дискриминант D положителен, у нас будут два вещественных корня.

Для нахождения корней уравнения, воспользуемся формулой:

\(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Подставим значения:

\(t = \frac{-50 \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 7}\)

\(t = \frac{-50 \pm 48}{14} \)

Таким образом, получаем два значения переменной t:

\(t_1 = \frac{-50 + 48}{14} = -\frac{1}{7}\)

\(t_2 = \frac{-50 - 48}{14} = -\frac{19}{7}\)

Таким образом, значение переменной t, при котором разность дробей равна их произведению, составляет -1/7 или -19/7.