Какое значение переменной х должно быть, чтобы х²+8, х²+2 и 3х²-2 были последовательными членами геометрической

Чтобы определить значение переменной \(x\), для которого выражения \(x^2 + 8\), \(x^2 + 2\), и \(3x^2 - 2\) являются последовательными членами геометрической прогрессии, нам необходимо использовать свойства геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, получается путем умножения предыдущего члена на определенное число \(q\), которое называется знаменателем прогрессии. Обозначим знаменатель прогрессии как \(q\).

В данном случае, у нас есть выражения \(x^2 + 8\), \(x^2 + 2\), и \(3x^2 - 2\), и нам нужно установить, являются ли они последовательными членами геометрической прогрессии. Для этого мы должны установить, что отношение каждого члена к предыдущему (то есть \(\frac{{x^2 + 2}}{{x^2 + 8}}\) и \(\frac{{3x^2 - 2}}{{x^2 + 2}}\)) равно знаменателю прогрессии \(q\).

Давайте рассмотрим первое отношение \(\frac{{x^2 + 2}}{{x^2 + 8}}\). Чтобы оно было равно знаменателю прогрессии \(q\), мы должны приравнять его к второму отношению \(\frac{{3x^2 - 2}}{{x^2 + 2}}\). Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[
\frac{{x^2 + 2}}{{x^2 + 8}} = \frac{{3x^2 - 2}}{{x^2 + 2}}
\]

Для решения этого уравнения, мы можем начать с упрощения числителя и знаменателя слева и справа от равенства. Мы получим:

\[
(x^2 + 2)(x^2 + 2) = (3x^2 - 2)(x^2 + 8)
\]

Раскроем скобки:

\[
(x^4 + 4x^2 + 4) = (3x^4 + 26x^2 - 2x^2 - 16)
\]

Соберем все слагаемые на одной стороне уравнения:

\[
x^4 + 4x^2 + 4 - 3x^4 - 24x^2 + 16 = 0
\]

Упростим выражение и соберем подобные слагаемые:

\[
-2x^4 - 20x^2 + 20 = 0
\]

Теперь, давайте решим это уравнение.

Для начала, заметим, что все коэффициенты умножены на -1, поэтому можем умножить все слагаемые на -1 и сократить знак минус. Получим:

\[
2x^4 + 20x^2 - 20 = 0
\]

Для решения этого уравнения, давайте выполним замену \(y = x^2\). Тогда у нас получится квадратное уравнение:

\[
2y^2 + 20y - 20 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \(D\) вычисляется следующим образом: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 2\), \(b = 20\) и \(с = -20\).

\[
D = 20^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 400 + 160 = 560
\]

Так как дискриминант \(D\) положительный, у нас есть два корня. Рассчитаем их:

\[
y_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

\[
y_1 = \frac{{-20 + \sqrt{560}}}{{4}} = \frac{{-20 + 4\sqrt{35}}}{{4}} = -5 + \sqrt{35}
\]

\[
y_2 = \frac{{-20 - \sqrt{560}}}{{4}} = \frac{{-20 - 4\sqrt{35}}}{{4}} = -5 - \sqrt{35}
\]

Теперь, давайте найдем значения \(x\), соответствующие этим корням. Вспомним, что мы использовали замену \(y = x^2\), поэтому:

\[
x_1 = \sqrt{y_1} = \sqrt{-5 + \sqrt{35}}
\]

\[
x_2 = \sqrt{y_2} = \sqrt{-5 - \sqrt{35}}
\]

Таким образом, для \(x\) равного \(\sqrt{-5 + \sqrt{35}}\) и \(x\) равного \(\sqrt{-5 - \sqrt{35}}\), выражения \(x^2 + 8\), \(x^2 + 2\), и \(3x^2 - 2\) будут последовательными членами геометрической прогрессии.