Какое значение переменной d приведет к тому, что угол между векторами m и n будет равен 45, если m{1;4} и n{d;3}?

Чтобы найти значение переменной d, которое приведет к тому, что угол между векторами m и n будет равен 45°, мы будем использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами. Даны векторы m{1;4} и n{d;3}.

Давайте сначала найдем произведение скаляров векторов m и n. Для этого умножим соответствующие координаты векторов и сложим полученные произведения:

m·n = (1*d) + (4*3) = d + 12

Затем найдем длины векторов m и n. Длина вектора вычисляется по формуле:

|v| = √(x^2 + y^2)

Для вектора m:
|м| = √(1^2 + 4^2) = √(1 + 16) = √17

Для вектора n:
|п| = √(d^2 + 3^2) = √(d^2 + 9)

Далее, воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами:

cosθ = (m·n) / (|м| * |п|)

Заменим в формуле значения, которые мы нашли:

cos45° = (d + 12) / (√17 * √(d^2 + 9))

Теперь решим уравнение относительно переменной d. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

(cos45°)^2 = ((d + 12) / (√17 * √(d^2 + 9)))^2

Выполним расчеты:

1/2 = ((d + 12)^2) / (17 * (d^2 + 9))

Умножим обе части уравнения на 17 * (d^2 + 9), чтобы избавиться от знаменателя:

(d^2 + 12)^2 = 2 * 17 * (d^2 + 9)

Раскроем скобки:

d^4 + 24d^2 + 144 = 34d^2 + 306

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

d^4 - 10d^2 - 162 = 0

Это квадратное уравнение относительно переменной d^2. Давайте решим его, используя метод подстановки значения переменной.

Подставим новую переменную x = d^2:

x^2 - 10x - 162 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x - 18)(x + 9) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = 18 и x = -9.

Так как x = d^2, далее найдем значения переменной d:

1) d^2 = 18
d = √18 или d = -√18

2) d^2 = -9
Данное значение недопустимо, поскольку получается отрицательное число в радикале.

Таким образом, угол между векторами m и n будет равен 45°, если переменная d равна \(\sqrt{18}\) или \(-\sqrt{18}\).