Какое значение Параметра p приводит к наличию только двух различных корней у уравнения X^3-3px+128=0?

Чтобы найти значение параметра p, при котором у уравнения \(x^3 - 3px + 128 = 0\) будет только два различных корня, нам понадобится использовать теорию кубических уравнений.

В кубическом уравнении, если все корни различны, то уравнение имеет ровно один корень вещественный и два комплексных, или все корни вещественные и различны. Если два корня совпадают, то уравнение имеет два вещественных корня и один комплексный.

Для начала, давайте рассмотрим уравнение \(x^3 - 3px + 128 = 0\). Мы знаем, что эти уравнения всегда имеют корень равный 1 (по теореме целочисленных корней).

Чтобы найти остальные корни их тип, воспользуемся формулами Виета, которые связывают корни и коэффициенты уравнения.

По формулам Виета, сумма корней кубического уравнения вида \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) равна \(-\frac{b}{a}\), а их произведение равно \(-\frac{d}{a}\).

В нашем случае, у нас есть уравнение \(x^3 - 3px + 128 = 0\). Значит, общий коэффициент перед \(x^3\) равен 1, а коэффициент перед \(x\) равен -3p. Также, нам известно, что сумма корней равна 0 (по формулам Виета).

Сумма корней данного уравнения равна 0, поэтому корень 1 должен быть сопряженным сумме оставшихся корней. То есть, если \(a + bi\) является одним из корней уравнения, где \(a\) и \(b\) - вещественные числа, то корень \(a - bi\) также будет являться корнем уравнения.

Итак, в нашем случае, у нас есть корень 1 и корень -1, и они оба вещественные числа.

Чтобы уравнение имело только два различных корня, -1 и 1 должны быть дважды учитаны. То есть, их кратность должна быть равна 2.

Таким образом, чтобы \(x^3 - 3px + 128 = 0\) имело только два различных корня, необходимо, чтобы кратность корня -1 и кратность корня 1 были равны 2.

Кратность корня определяется так: если \(x = c\) является корнем уравнения, то кратность этого корня - это степень, в которую нужно возвести \(x - c\), чтобы получить исходное уравнение.

Выразим уравнение через факторы (разложим его). У нас есть корень -1, поэтому \((x + 1)^2\) - это фактор уравнения. Также, у нас есть корень 1, поэтому \((x - 1)^2\) - это еще один фактор уравнения.

Теперь домножим эти факторы, чтобы получить исходное уравнение:

\((x + 1)^2(x - 1)^2 = (x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1) = x^4 - x^2 + 1\)

Обратите внимание, что мы удалили коэффициент перед \(x^3\), так как он равен 1.

Используя это новое уравнение, которое эквивалентно нашему исходному уравнению, мы видим, что оно имеет только два различных корня (-1 и 1) и один комплексный корень.

Таким образом, чтобы \(x^3 - 3px + 128 = 0\) имело только два различных корня, параметр \(p\) должен быть таким, чтобы оно было эквивалентно уравнению \(x^4 - x^2 + 1 = 0\).

Это значит, что нам необходимо решить уравнение \(x^4 - x^2 + 1 = 0\) и найти значение параметра \(p\) для этих корней. Посмотрим на это.

To solve the equation \(x^4 - x^2 + 1 = 0\), we can make a substitution by setting \(y = x^2\).

\(y^2 - y + 1 = 0\)

This quadratic equation does not have real solutions, as its discriminant (\(-3\)) is negative.

Therefore, we conclude that there is no value of parameter \(p\) that leads to the equation \(x^3 - 3px + 128 = 0\) having exactly two distinct roots.

В итоге, мы получили, что нет значения параметра \(p\), при котором уравнение \(x^3 - 3px + 128 = 0\) будет иметь только два различных корня.