Какое значение может иметь наименьшее натуральное число, которое дает остаток 1 при делении на 4, остаток 3 при делении

на 7?

Чтобы найти такое число, мы можем использовать метод системы сравнений. Для этого нужно решить систему уравнений с данными остатками.

Обозначим искомое число как \(x\). Мы знаем, что остаток при делении \(x\) на 4 равен 1, поэтому мы можем записать первое уравнение:

\[x \equiv 1 \pmod{4}\]

Также мы знаем, что остаток при делении \(x\) на 6 равен 3, поэтому мы можем записать второе уравнение:

\[x \equiv 3 \pmod{6}\]

Наконец, мы знаем, что остаток при делении \(x\) на 7 равен 4, поэтому мы можем записать третье уравнение:

\[x \equiv 4 \pmod{7}\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значение \(x\). Для этого мы можем использовать метод решения системы сравнений.

Чтобы решить уравнение \(x \equiv 1 \pmod{4}\), мы наблюдаем, что все числа, которые дают остаток 1 при делении на 4, имеют вид \(x = 1 + 4n\), где \(n\) - целое число.

Таким образом, первое уравнение имеет вид:

\[x = 1 + 4n\]

Чтобы решить уравнение \(x \equiv 3 \pmod{6}\), мы наблюдаем, что все числа, которые дают остаток 3 при делении на 6, имеют вид \(x = 3 + 6m\), где \(m\) - целое число.

Таким образом, второе уравнение имеет вид:

\[x = 3 + 6m\]

Чтобы решить уравнение \(x \equiv 4 \pmod{7}\), мы наблюдаем, что все числа, которые дают остаток 4 при делении на 7, имеют вид \(x = 4 + 7k\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, третье уравнение имеет вид:

\[x = 4 + 7k\]

Теперь мы можем объединить все уравнения вместе:

\[1 + 4n = 3 + 6m = 4 + 7k\]

Чтобы найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этой системе уравнений, нам нужно найти наименьшие значения \(n\), \(m\) и \(k\), при которых все три равенства будут выполняться.

Рассмотрим первое и второе уравнения:

\[1 + 4n = 3 + 6m\]

Приравнивая правую часть кратным наименьшего общего кратного (НОК) чисел 4 и 6, мы получим:

\[1 + 4n = 3 + 6m = 12\]

Решая это уравнение, мы получаем:

\[4n = 11 + 6m \Rightarrow 4n = 12 + 6m - 1 \Rightarrow 4n = 11 + 6(m - 1)\]

Так как \(m - 1\) является целым числом, а \(11\) не делится на \(4\), то \(4n\) также не делится на \(4\). Это противоречие, и у нас нет решений для этой системы уравнений.

Таким образом, наименьшего натурального числа, которое дает остаток 1 при делении на 4, остаток 3 при делении на 6 и остаток 4 при делении на 7, не существует.