Какое значение m требуется для получения перпендикулярности между векторами a ̅(m + 1; 1; -1; ) и b ̅(m; -m; -2m+3)?

Чтобы определить значение переменной \(m\), при котором векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) будут перпендикулярными, мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения векторов. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы являются перпендикулярными.

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) с использованием их координат:

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (m + 1)(m) + (1)(-m) + (-1)(-2m+3)\]

Раскрыв скобки и упростив, получаем:

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = m^2 + m - m - 2m^2 + 3\]

Далее сгруппируем похожие члены:

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -m^2 + m + 3\]

Теперь уравняем это выражение к нулю, так как мы ищем значение \(m\), при котором векторы будут перпендикулярными:

\[-m^2 + m + 3 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение. Чтобы решить его, можно воспользоваться формулой дискриминанта. Формула дискриминанта для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) выглядит следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае, у нас \(a = -1\), \(b = 1\) и \(c = 3\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[D = (1)^2 - 4(-1)(3)\]

Посчитаем это:

\[D = 1 + 12\]

\[D = 13\]

Поскольку дискриминант \(D\) положительный, у нас имеются два корня уравнения. Найдем их, используя формулу:

\[m = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[m = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2(-1)}\]

Упростим это:

\[m = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\]

Таким образом, у нас два значения \(m\), которые обеспечивают перпендикулярность векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\[m_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\]

\[m_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\]

Итак, значение \(m\) для получения перпендикулярности между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) - это \(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}\) и \(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}\).