Какое значение m должны иметь векторы a и b, чтобы вектор с можно было разложить по ним? Найдите это разложение

Чтобы разложить вектор c по векторам a и b, необходимо, чтобы вектор c лежал в плоскости, образованной векторами a и b. Это означает, что вектор c должен быть линейной комбинацией векторов a и b.

Итак, предположим, что вектор c может быть разложен по векторам a и b с использованием скаляров m и n. Тогда мы можем записать разложение следующим образом:

\[
\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}
\]

Теперь наша задача - найти значения m, при которых это уравнение выполнено.

Заметим, что для разложения вектора c векторами a и b, вектор c должен лежать в плоскости, образованной векторами a и b. Это будет верно, если вектор c ортогонален нормали к этой плоскости. Нормаль к плоскости, образованной векторами a и b, можно найти с помощью векторного произведения этих векторов:

\[
\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}
\]

Теперь, если вектор c ортогонален нормали к плоскости, то скалярное произведение векторов c и нормали должно быть равно нулю:

\[
\vec{c} \cdot \vec{n} = 0
\]

Подставляя значения из исходного уравнения, получаем:

\[
(m\vec{a} + n\vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0
\]

Раскрывая скалярное и векторное произведения, получаем:

\[
(m\vec{a} \cdot \vec{a} + n\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b} - (m\vec{a} \cdot \vec{b} + n\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} = 0
\]

Поскольку векторы a и b не коллинеарны (не лежат на одной прямой), их скалярное произведение не равно нулю:

\[
\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0
\]

Поэтому выражение может быть равно нулю только в том случае, когда коэффициенты m и n удовлетворяют следующей системе уравнений:

\[
\begin{cases}
m(\vec{a} \cdot \vec{a}) + n(\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0 \\
m(\vec{a} \cdot \vec{b}) + n(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0
\end{cases}
\]

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения m и n, при которых вектор c можно разложить по векторам a и b. Полученные значения m и n могут быть использованы для записи разложения вектора c.