Какое значение имеет tg(π+t), если sin(4π+t) равно 12/13?

Дано: \(\sin(4\pi+t) = \frac{12}{13}\)

Нам нужно найти значение \(\tan(\pi+t)\).

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства тригонометрических функций и заменить \(\sin(4\pi+t)\) на функцию \(\cos(4\pi+t)\), так как \(\sin(x) = \cos(x+\frac{\pi}{2})\).

Итак, \(\sin(4\pi+t) = \frac{12}{13}\) можно переписать в виде \(\cos(4\pi+t+\frac{\pi}{2}) = \frac{12}{13}\).

Теперь позвольте нам рассмотреть значение \(\cos(x)\) в четвертой четверти. В четвертой четверти значение косинуса отрицательно, поэтому \(\cos(4\pi+t+\frac{\pi}{2}) = -\frac{12}{13}\).

Мы знаем, что \(\tan(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}\). Поэтому, \(\tan(\pi+t) = \frac{{\sin(\pi+t)}}{{\cos(\pi+t)}}\).

Так как \(\sin(\pi+t) = \sin(\pi+t+2\pi) = \sin((\pi+t)+4\pi) = \sin(4\pi+t)\), мы можем заменить \(\sin(\pi+t)\) на \(\sin(4\pi+t)\).

Теперь нам нужно определить значение \(\cos(\pi+t)\). Воспользуемся формулой \(\cos(x) = -\cos(x+\pi)\).

Итак, \(\cos(\pi+t) = -\cos((\pi+t)+\pi) = -\cos(2\pi+t) = -\cos(t)\).

Теперь у нас есть все, что нужно, чтобы определить значение \(\tan(\pi+t)\):

\[\tan(\pi+t) = \frac{{\sin(\pi+t)}}{{\cos(\pi+t)}} = \frac{{\sin(4\pi+t)}}{{-\cos(t)}} = \frac{{\frac{12}{13}}}{{-\cos(t)}} = -\frac{{12}}{{13\cos(t)}}\]

Таким образом, значение \(\tan(\pi+t)\) равно \(-\frac{{12}}{{13\cos(t)}}\).