Какое значение имеет производная функции y=30√4-3x в точке x0=-7?

Question

Математика: Какое значение имеет производная функции y=30√4-3x в точке x0=-7?

Zagadochnyy_Les · Accepted Answer

Хорошо! Для решения этой задачи мы будем использовать правило дифференцирования для функции

y = \sqrt{x}

.

Сначала, давайте найдем производную функции

y = \sqrt{4 - 3 x}

. Для этого мы можем использовать цепное правило дифференцирования, которое гласит: если

y = f (g (x))

, то

y "

вычисляется как

f " (g (x)) \cdot g " (x)

.

Таким образом, мы можем разделить нашу функцию на две составляющие:

f (u) = \sqrt{u}

, где

u = 4 - 3 x

Теперь найдем производную функции

f (u)

. Для этого мы можем использовать правило дифференцирования для функции

y = \sqrt{x}

, которое гласит:

\frac{d}{d u} (\sqrt{u}) = \frac{1}{2 \sqrt{u}}

Теперь, чтобы найти производную функции

y = \sqrt{4 - 3 x}

, мы применяем цепное правило дифференцирования:

\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} (\sqrt{4 - 3 x}) = \frac{d}{d u} (\sqrt{u}) \cdot \frac{d u}{d x}

Теперь давайте найдем значение производной функции в точке

x_{0} = - 7

. Для этого подставим

x_{0}

в выражение

\frac{d y}{d x}

и вычислим результат.

\frac{d y}{d x}

в точке

x_{0} = - 7

равно:

\frac{d}{d x} (\sqrt{4 - 3 x}) |_{x = - 7} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} |_{u = 4 - 3 (- 7)} = \frac{1}{2 \sqrt{4 + 21}} = \frac{1}{2 \sqrt{25}} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}

Итак, значение производной функции

y = \sqrt{4 - 3 x}

в точке

x_{0} = - 7

равно

\frac{1}{10}

.