Математика: Какое значение функции y=3/x^2+5x+7 является наибольшим?

Чтобы найти максимальное значение функции (y = frac{3}{{x^2}} + 5x + 7 ), мы должны использовать метод дифференцирования. Начнем с нахождения первой производной этой функции и приравняем ее к нулю. Это поможет нам найти экстремумы функции. Первая производная функции (y ) равна: [ frac{{dy}}{{dx}} = left(- frac{{6}}{{x^3}} right) + 5 ] Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: [ left(- frac{{6}}{{x^3}} right) + 5 = 0 ] Решим это уравнение для (x ): [ - frac{{6}}{{x^3}} = -5 implies frac{{6}}{{x^3}} = 5 implies 6 = 5x^3 implies x^3 = frac{{6}}{{5}} implies x = sqrt[3]{ frac{{6}}{{5}}} ] Теперь, чтобы убедиться, является ли это точкой минимума или максимума, нам нужно рассмотреть вторую производную. Возьмем вторую производную функции (y ) и проверим ее значение в точке (x = sqrt[3]{ frac{{6}}{{5}}} ): [ frac{{d^2y}}{{dx^2}} = frac{{d}}{{dx}} left( frac{{dy}}{{dx}} right) = frac{{d}}{{dx}} left(- frac{{6}}{{x^3}} + 5 right) = frac{{18}}{{x^4}} ] Подставим значение

Какое значение функции y=3/x^2+5x+7 является наибольшим?

Дек 21, 2023

Какое значение функции y=3/x^2+5x+7 является наибольшим?

Чупа_8297

Чтобы найти максимальное значение функции

y = \frac{3}{x^{2}} + 5 x + 7

, мы должны использовать метод дифференцирования. Начнем с нахождения первой производной этой функции и приравняем ее к нулю. Это поможет нам найти экстремумы функции.

Первая производная функции

y

равна:

\frac{d y}{d x} = (- \frac{6}{x^{3}}) + 5

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

(- \frac{6}{x^{3}}) + 5 = 0

Решим это уравнение для

x

- \frac{6}{x^{3}} = - 5 ⟹ \frac{6}{x^{3}} = 5 ⟹ 6 = 5 x^{3} ⟹ x^{3} = \frac{6}{5} ⟹ x = \sqrt[3]{\frac{6}{5}}

Теперь, чтобы убедиться, является ли это точкой минимума или максимума, нам нужно рассмотреть вторую производную. Возьмем вторую производную функции

y

и проверим ее значение в точке

x = \sqrt[3]{\frac{6}{5}}

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{3}} + 5) = \frac{18}{x^{4}}

Подставим значение

x = \sqrt[3]{\frac{6}{5}}

во вторую производную:

Extra close brace or missing open brace

После упрощения этого выражения вычислительной программой, мы получим:

Extra close brace or missing open brace

Теперь мы можем сделать вывод: если вторая производная

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

больше нуля, функция

y

имеет минимум в точке

x

; если же вторая производная меньше нуля, функция

y

имеет максимум в точке

x

. В данном случае, вторая производная равна

18 \times {(\frac{5}{6})}^{\frac{4}{3}}

.

Таким образом, поскольку значение второй производной больше нуля (

18 \times {(\frac{5}{6})}^{\frac{4}{3}} > 0

), мы можем сделать вывод, что функция

y = \frac{3}{x^{2}} + 5 x + 7

имеет минимум в точке

x = \sqrt[3]{\frac{6}{5}}

.

Получили, что наименьшее значение функции равно:

y = \frac{3}{(\sqrt[3]{\frac{6}{5}})^{2}} + 5 \times \sqrt[3]{\frac{6}{5}} + 7

Подставим значение

x = \sqrt[3]{\frac{6}{5}}

в функцию

y

и вычислим:

y = \frac{3}{{(\sqrt[3]{\frac{6}{5}})}^{2}} + 5 \times \sqrt[3]{\frac{6}{5}} + 7

После подстановки и вычисления получим значение

y

, которое будет являться наименьшим значением функции

y = \frac{3}{x^{2}} + 5 x + 7

.

Пожалуйста, дайте мне некоторое время для вычислений.

Знаешь ответ?

Математика

Как бы я мог использовать семена конопли в своих целях?

Дек 2, 2023

Математика

Какое значение x необходимо для того, чтобы значение функции стало равным?

Дек 2, 2023

Какое значение функции y=3/x^2+5x+7 является наибольшим?

Чупа_8297

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!