Какое условие должно выполняться между массами грузов для достижения равновесия системы, если два груза массами m

Чтобы достичь равновесия системы, между массами грузов должно выполняться следующее условие: сумма горизонтальных сил, действующих на каждый из грузов, должна быть равна нулю, и сумма вертикальных сил также должна быть равна нулю.

Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Раскройте условие задачи

В задаче говорится, что два груза массами \( m \) и \( m \) (обозначим их \( m_1 \) и \( m_2 \)) связаны нерастяжимой нитью, которая перекинута через неподвижный блок. Задан также коэффициент трения между грузами и гранями клина \( \mu = 0,2 \), и угол наклона клина \( \alpha = 45^\circ \).

Шаг 2: Нарисуйте силовую диаграмму

Для решения задачи полезно нарисовать силовую диаграмму, чтобы понять, какие силы действуют на каждый из грузов.

\[
\begin{align*}
& \vert \nearrow \alpha \searrow \mu \searrow \mu \searrow \mu \searrow \mu \searrow \alpha \swarrow \mu \swarrow \mu \swarrow \mu \swarrow \mu \swarrow \alpha \nwarrow \\
& \vert \\
m_1 & \rightarrow \bullet \leftarrow m_2 \\
& \vert \\
& w_1 \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \uparrow w_2
\end{align*}
\]

Здесь \( w_1 \) и \( w_2 \) - это веса грузов, направленные вертикально вниз. \( \uparrow \) и \( \downarrow \) указывают на направление этих сил.

Шаг 3: Разложите силы на составляющие

Теперь разложим вес каждого груза на горизонтальную и вертикальную составляющие. Так как угол наклона клина \( \alpha = 45^\circ \), то у нас есть следующее разложение:

\[
\begin{align*}
w_1 & = m_1 \cdot g \cdot \sin(\alpha) \\
w_2 & = m_2 \cdot g \cdot \cos(\alpha)
\end{align*}
\]

Где \( g \) обозначает ускорение свободного падения (принимаем его равным 9,8 м/с\(^2\)).

Шаг 4: Рассмотрим горизонтальные силы

На каждый из грузов действуют следующие горизонтальные силы:

Для груза \( m_1 \): \( F_{\text{тр1}} \) (сила трения первого груза) и \( T \) (натяжение нити).

Для груза \( m_2 \): \( F_{\text{тр2}} \) (сила трения второго груза) и \( T \) (натяжение нити).

Таким образом, для достижения равновесия системы должно выполняться:

\[
\begin{align*}
F_{\text{тр1}} + T & = 0 \\
T - F_{\text{тр2}} & = 0
\end{align*}
\]

Шаг 5: Расчитаем силы трения

Теперь найдем силы трения \( F_{\text{тр1}} \) и \( F_{\text{тр2}} \).

Сила трения можно рассчитать, умножив коэффициент трения \( \mu \) на нормальную реакцию.

Для груза \( m_1 \) нормальная реакция равна \( w_1 \), поскольку его поверхность горизонтальна.

Для груза \( m_2 \) нормальная реакция равна \( w_2 \), поскольку его поверхность наклонена.

Теперь мы можем рассчитать силы трения:

\[
\begin{align*}
F_{\text{тр1}} & = \mu \cdot w_1 \\
F_{\text{тр2}} & = \mu \cdot w_2
\end{align*}
\]

Шаг 6: Найдем натяжение нити

Из шага 4, мы знаем, что \( T \) должно быть равно \( F_{\text{тр2}} \), чтобы система находилась в равновесии.

Теперь, найдем \( T \):

\[
T = F_{\text{тр2}} = \mu \cdot w_2
\]

Шаг 7: Найдем условие равновесия

Итак, условие равновесия состоит в том, что сумма горизонтальных сил, действующих на каждый из грузов, должна быть равна нулю:

\[
F_{\text{тр1}} + T = 0
\]

Подставим значения сил:

\[
\mu \cdot w_1 + T = 0
\]

Заметим, что \( w_1 \) может быть выражено через \( w_2 \):

\[
w_1 = m_1 \cdot g \cdot \sin(\alpha)
\]

Тогда:

\[
\mu \cdot (m_1 \cdot g \cdot \sin(\alpha)) + T = 0
\]

Заменим \( T \) на выражение \( \mu \cdot w_2 \):

\[
\mu \cdot (m_1 \cdot g \cdot \sin(\alpha)) + \mu \cdot w_2 = 0
\]

Поскольку \( w_2 = m_2 \cdot g \cdot \cos(\alpha) \):

\[
\mu \cdot (m_1 \cdot g \cdot \sin(\alpha)) + \mu \cdot (m_2 \cdot g \cdot \cos(\alpha)) = 0
\]

Теперь мы можем упростить это уравнение, поделив его на \( \mu \cdot g \):

\[
m_1 \cdot \sin(\alpha) + m_2 \cdot \cos(\alpha) = 0
\]

Таким образом, условие равновесия для данной системы грузов будет:

\[
m_1 \cdot \sin(\alpha) + m_2 \cdot \cos(\alpha) = 0
\]

Оно должно выполняться для достижения равновесия.