Какое ускорение будет у тела через 2 часа, если на данный момент оно находится на расстоянии s=1/4t^4+4t^3+16t^2км

Чтобы найти ускорение тела через 2 часа, нам нужно продифференцировать заданное расстояние\(s\) по времени \(t\) в два этапа: первый - для определения скорости, а второй - для определения ускорения.

Шаг 1: Найдем скорость тела, продифференцировав заданное расстояние по времени.
Для этого нам понадобится применить правило дифференцирования функции, состоящей из суммы слагаемых.

\[
s = \frac{1}{4}t^4 + 4t^3 + 16t^2
\]

Дифференцируя каждое слагаемое по очереди, получим:

\[
\begin{align*}
\frac{{ds}}{{dt}} &= \frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{1}{4}t^4\right) + \frac{{d}}{{dt}}(4t^3) + \frac{{d}}{{dt}}(16t^2) \\
&= \frac{1}{4} \cdot \frac{{d}}{{dt}}(t^4) + 4 \cdot \frac{{d}}{{dt}}(t^3) + 16 \cdot \frac{{d}}{{dt}}(t^2) \\
&= \frac{1}{4} \cdot 4t^3 + 4 \cdot 3t^2 + 16 \cdot 2t \\
&= t^3 + 12t^2 + 32t
\end{align*}
\]

Таким образом, скорость тела будет равна \( t^3 + 12t^2 + 32t \) км/ч.

Шаг 2: Найдем ускорение тела в момент времени \( t = 2 \) часа.
Для этого нам нужно продифференцировать скорость по времени.

\[
\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(t^3 + 12t^2 + 32t)
\]

Производная \( \frac{{d}}{{dt}}(t^3 + 12t^2 + 32t) \) равна

\[
\begin{align*}
\frac{{d}}{{dt}}(t^3 + 12t^2 + 32t) &= \frac{{d}}{{dt}}(t^3) + \frac{{d}}{{dt}}(12t^2) + \frac{{d}}{{dt}}(32t) \\
&= 3t^2 + 24t + 32
\end{align*}
\]

Подставив \( t = 2 \), получим значение ускорения:

\[
\begin{align*}
a &= 3 \cdot (2)^2 + 24 \cdot (2) + 32 \\
&= 3 \cdot 4 + 24 \cdot 2 + 32 \\
&= 12 + 48 + 32 \\
&= 92
\end{align*}
\]

Таким образом, ускорение тела через 2 часа будет равно \( 92 \) км/ч².