Какое уравнение траектории частицы получается, если ее полная энергия равна нулю и у нее есть момент импульса L? Будет

Для нахождения уравнения траектории частицы в случае, когда полная энергия равна нулю и у нее есть момент импульса L, мы можем использовать закон сохранения энергии и уравнение моментов.

Для начала, давайте рассмотрим закон сохранения энергии:

Полная энергия частицы (E) равна сумме ее кинетической энергии (T) и потенциальной энергии (U):

\[E = T + U(r)\]

У нас в данной задаче полная энергия равна нулю, поэтому мы можем записать уравнение следующим образом:

\[0 = T + U(r)\]

Так как T = 0, у нас остается следующее уравнение:

\[0 = U(r)\]

Затем мы можем рассмотреть уравнение моментов:

Момент импульса (L) - это векторная величина, определяемая как произведение массы частицы (m) на ее скорость (v) и радиус-вектора (r), направленного от центра поля к положению частицы:

\[L = mvr\]

В данной задаче полная энергия равна нулю и моменту импульса(L) соответствует угловой момент, который определяется как произведение массы частицы на радиус и ее угловую скорость (ω):

\[L = mr^2ω\]

Используя центральное поле с потенциальной энергией \(U(r) = \alpha r^n\), мы можем найти величину момента импульса L:

\[L = mr^2ω = mr^2 \dfrac{dθ}{dt}\]

Теперь мы можем объединить уравнение момента импульса и уравнение для потенциальной энергии:

\[L = mr^2 \dfrac{dθ}{dt} = \alpha r^n\]

Разделим это уравнение на \(mr^2\) и проинтегрируем обе стороны:

\[\int \dfrac{dθ}{dt} dt = \int \dfrac{\alpha}{mr^2} r^n dt\]

Интегрирование производится с соответствующими пределами интегрирования. В результате получим:

\[\theta = \int \dfrac{\alpha}{mr^2} r^n dt\]

Таким образом, уравнение траектории частицы в данном случае будет иметь вид:

\[\theta = \int \dfrac{\alpha}{mr^2} r^n dt\]

В основном случае центрального поля с потенциальной энергией \(U(r) = \alpha r^n\) и полной энергией E=0, это уравнение представляется в виде:

\[\theta = \int \dfrac{\alpha}{mr^2} r^n dt\]

Полученное уравнение можно использовать для нахождения значения угла \(\theta\) в зависимости от времени t, что позволяет определить траекторию движения частицы в центральном поле с заданной потенциальной энергией.