Какое уравнение прямой может быть записано для прямой, проходящей через середину отрезка, соединяющего точки а(4; 3) и в(-2; 5), и являющейся перпендикулярной этому отрезку?
Ярус_489
Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через середину отрезка и перпендикулярной ему, мы можем использовать некоторые свойства математики.
Шаг 1: Найдите координаты середины отрезка.
Для того чтобы найти координаты середины отрезка, нам нужно найти среднее значение каждой координаты из двух заданных точек.
Средняя координата x будет равна \(\frac{{x_1 + x_2}}{2}\), где \(x_1\) и \(x_2\) - это x-координаты точек.
Средняя координата y будет равна \(\frac{{y_1 + y_2}}{2}\), где \(y_1\) и \(y_2\) - это y-координаты точек.
Для заданных точек \(a(4, 3)\) и \(b(-2, 5)\), средняя координата x будет равна \(\frac{{4 + (-2)}}{2} = 1\), а средняя координата y будет равна \(\frac{{3 + 5}}{2} = 4\).
Таким образом, координаты середины отрезка будут \(M(1, 4)\).
Шаг 2: Найдите угловой коэффициент прямой, перпендикулярной данному отрезку.
Так как данная прямая является перпендикулярной отрезку, то ее угловой коэффициент будет противоположным и обратным угловому коэффициенту данного отрезка.
Угловой коэффициент отрезка \(AB\) можно найти с помощью формулы:
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
Где \(m\) - угловой коэффициент, \(x_1\), \(y_1\) - координаты точки \(A\), а \(x_2\), \(y_2\) - координаты точки \(B\).
Для точек \(a(4, 3)\) и \(b(-2, 5)\) угловой коэффициент отрезка \(AB\) будет:
\[m = \frac{{5 - 3}}{{-2 - 4}} = -\frac{1}{3}\]
Таким образом, угловой коэффициент \(m_1\) перпендикулярной прямой будет:
\[m_1 = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{{-\frac{1}{3}}} = 3\]
Шаг 3: Найдите уравнение прямой, проходящей через точку \(M(1, 4)\) и имеющей угловой коэффициент \(m_1 = 3\).
Для того чтобы найти уравнение прямой, мы можем использовать уравнение прямой в общей форме:
\[y = mx + b\]
Где \(m\) - угловой коэффициент прямой, \(x\) - переменная, \(y\) - переменная, и \(b\) - y-перехват (то есть значение y, когда x равно 0).
Зная, что прямая проходит через точку \(M(1, 4)\), мы можем подставить координаты этой точки в уравнение и решить уравнение, чтобы найти \(b\):
\[4 = 3 \cdot 1 + b\]
\[4 = 3 + b\]
\[b = 4 - 3 = 1\]
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через середину отрезка и являющейся перпендикулярной данному отрезку, будет:
\[y = 3x + 1\]
Это и есть искомое уравнение.
Шаг 1: Найдите координаты середины отрезка.
Для того чтобы найти координаты середины отрезка, нам нужно найти среднее значение каждой координаты из двух заданных точек.
Средняя координата x будет равна \(\frac{{x_1 + x_2}}{2}\), где \(x_1\) и \(x_2\) - это x-координаты точек.
Средняя координата y будет равна \(\frac{{y_1 + y_2}}{2}\), где \(y_1\) и \(y_2\) - это y-координаты точек.
Для заданных точек \(a(4, 3)\) и \(b(-2, 5)\), средняя координата x будет равна \(\frac{{4 + (-2)}}{2} = 1\), а средняя координата y будет равна \(\frac{{3 + 5}}{2} = 4\).
Таким образом, координаты середины отрезка будут \(M(1, 4)\).
Шаг 2: Найдите угловой коэффициент прямой, перпендикулярной данному отрезку.
Так как данная прямая является перпендикулярной отрезку, то ее угловой коэффициент будет противоположным и обратным угловому коэффициенту данного отрезка.
Угловой коэффициент отрезка \(AB\) можно найти с помощью формулы:
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
Где \(m\) - угловой коэффициент, \(x_1\), \(y_1\) - координаты точки \(A\), а \(x_2\), \(y_2\) - координаты точки \(B\).
Для точек \(a(4, 3)\) и \(b(-2, 5)\) угловой коэффициент отрезка \(AB\) будет:
\[m = \frac{{5 - 3}}{{-2 - 4}} = -\frac{1}{3}\]
Таким образом, угловой коэффициент \(m_1\) перпендикулярной прямой будет:
\[m_1 = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{{-\frac{1}{3}}} = 3\]
Шаг 3: Найдите уравнение прямой, проходящей через точку \(M(1, 4)\) и имеющей угловой коэффициент \(m_1 = 3\).
Для того чтобы найти уравнение прямой, мы можем использовать уравнение прямой в общей форме:
\[y = mx + b\]
Где \(m\) - угловой коэффициент прямой, \(x\) - переменная, \(y\) - переменная, и \(b\) - y-перехват (то есть значение y, когда x равно 0).
Зная, что прямая проходит через точку \(M(1, 4)\), мы можем подставить координаты этой точки в уравнение и решить уравнение, чтобы найти \(b\):
\[4 = 3 \cdot 1 + b\]
\[4 = 3 + b\]
\[b = 4 - 3 = 1\]
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через середину отрезка и являющейся перпендикулярной данному отрезку, будет:
\[y = 3x + 1\]
Это и есть искомое уравнение.
Знаешь ответ?