Какое уравнение плоскости проходит через начало координат и перпендикулярно вектору n, где косинусы направляющего

Для начала, чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору n, мы знаем, что вектор n является нормалью к плоскости. Известно, что косинусы направляющего вектора равны -1/3 и 2/3.

Для начала определим вектор n. Поскольку плоскость перпендикулярна вектору n, мы можем записать уравнение плоскости в виде: Ax + By + Cz = 0, где (A, B, C) - координаты вектора n.

Так как вектор нормали плоскости перпендикулярен ей, его проекции на оси x, y и z должны быть равными соответственно нулю.

Учитывая, что косинусы направляющего вектора равны -1/3 и 2/3, мы можем записать:

\[
n = (-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, c)
\]

где c - координата по оси z, которую мы должны найти.

Чтобы найти c, мы можем использовать тот факт, что вектор n нормализован, то есть его длина составляет 1.

\[
|n| = \sqrt{(-\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 + c^2} = 1
\]

Решим это уравнение относительно c:

\[
\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + c^2 = 1
\]

\[
c^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}
\]

\[
c = \pm\frac{2}{3}
\]

Поскольку мы ищем плоскость, проходящую через начало координат, мы видим, что для нас подходит только положительное значение c, то есть c = 2/3.

Итак, вектор n равен \((-1/3, 2/3, 2/3)\). Теперь мы можем записать уравнение плоскости, используя найденный вектор нормали:

\[
-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y + \frac{2}{3}z = 0
\]

Теперь давайте проверим, перпендикулярна ли эта плоскость плоскости 4x + y - z = 0. Для этого запишем скалярное произведение векторов нормалей обеих плоскостей. Если скалярное произведение равно нулю, то плоскости перпендикулярны.

Вектор нормали плоскости 4x + y - z = 0 равен \((4, 1, -1)\).

Теперь рассчитаем скалярное произведение:

\[
(-\frac{1}{3})(4) + (\frac{2}{3})(1) + (\frac{2}{3})(-1) = -\frac{4}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0
\]

Получили ноль. Это означает, что плоскости перпендикулярны друг другу.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору n, где косинусы направляющего вектора равны -1/3 и 2/3, является \(-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y + \frac{2}{3}z = 0\). Эта плоскость перпендикулярна плоскости 4x + y - z = 0.