Какое уравнение определяет плоскость, которая перпендикулярна плоскости 2x-2y+4z-5=0 и пересекает оси Ox и Oy в точках

Чтобы найти уравнение плоскости, которая перпендикулярна заданной плоскости 2x-2y+4z-5=0 и пересекает оси Ox и Oy в точках a=3 и b=-2, нам понадобится использовать несколько шагов.

Шаг 1: Найдите вектор нормали к заданной плоскости.
Заданное уравнение плоскости имеет вид 2x-2y+4z-5=0. Чтобы найти вектор нормали, возьмем коэффициенты при переменных x, y и z и образуем из них вектор. В данном случае получаем вектор нормали [2, -2, 4].

Шаг 2: Найдите вектор направляющий для плоскости, пересекающей Ox и Oy в точках a и b.
Так как плоскость пересекает оси Ox и Oy, она проходит через точки на этих осях. В нашем случае, она проходит через точку a(3, 0, 0) и b(0, -2, 0). Чтобы найти вектор направляющий, проведем вектор, соединяющий точки a и b: [3-0, 0-(-2), 0-0] = [3, 2, 0].

Шаг 3: Найдите вектор нормали для искомой плоскости.
Так как плоскость перпендикулярна заданной плоскости и пересекает оси Ox и Oy, то векторы ее нормали и направления должны быть перпендикулярны вектору нормали заданной плоскости и направляющему вектору соответственно. Применяя свойство перпендикулярности, найдем вектор нормали для искомой плоскости найденный векторное произведение векторов нормали и направляющего: \([2, -2, 4] \times [3,2,0]\).

Выполним вычисления:
\[
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
2 & -2 & 4\\
3 & 2 & 0\\
\end{vmatrix}
\]

Определитель может быть вычислен следующим образом: (2 \cdot 2 \cdot 0) + (4 \cdot 3 \cdot (-2)) + (-2 \cdot 0 \cdot 2) - ((0 \cdot 2 \cdot 4) + (-2 \cdot 3 \cdot 0) + (2 \cdot 2 \cdot (-2)))

Окончательно получаем следующий вектор нормали: [4, 12, 10].

Шаг 4: Найдите уравнение искомой плоскости.
Используем полученный вектор нормали и точку, через которую проходит плоскость (мы берем точку пересечения осей Ox и Oy, т.е., точку (0, 0, 0)), для записи уравнения плоскости в виде \(ax+by+cz+d=0\). Подставляем полученные значения в уравнение: \(4x+12y+10z+d=0\). Также, учитывая, что плоскость пересекает точку a(3, 0, 0), подставим ее координаты и решим уравнение: \(4\cdot3+12\cdot0+10\cdot0+d=0\). После решения этого уравнения найдем, что \(d = -12\).

Таким образом, уравнение плоскости, которая перпендикулярна плоскости \(2x-2y+4z-5=0\) и пересекает оси Ox и Oy в точках a=3 и b=-2, будет иметь вид \(4x+12y+10z-12=0\).