Какое уравнение описывает скорость тела, движущегося по уравнению x=5 + 9t -1,5t^2? Какова будет скорость через

Задача: Найдите уравнение, описывающее скорость тела, движущегося по закону \(x = 5 + 9t - 1,5t^2\), и вычислите скорость через 3 секунды после начала движения. Нарисуйте график зависимости проекции скорости от времени и определите скорость через 3 секунды графически.

Решение:

Шаг 1: Для нахождения уравнения, описывающего скорость тела, воспользуемся производной от уравнения \(x\). Так как \(x\) является функцией времени \(t\), возьмем производную по \(t\), чтобы получить скорость \(v(t)\):

\[
v(t) = \frac{{dx}}{{dt}}
\]

Шаг 2: Возьмем производную от \(x = 5 + 9t - 1,5t^2\) по \(t\):

\[
v(t) = \frac{{d}}{{dt}}(5 + 9t - 1,5t^2)
\]

Для нахождения производной используем правило дифференцирования для суммы и разности констант и функций:

\[
v(t) = \frac{{d}}{{dt}}(5) + \frac{{d}}{{dt}}(9t) - \frac{{d}}{{dt}}(1,5t^2)
\]

Поскольку производная от константы равна нулю, остается только дифференцирование функций с \(t\):

\[
v(t) = 0 + 9 - (1,5 \cdot 2t)
\]

Упростим это выражение:

\[
v(t) = 9 - 3t
\]

Таким образом, уравнение, описывающее скорость тела, будет \(v(t) = 9 - 3t\).

Шаг 3: Чтобы найти скорость через 3 секунды после начала движения, подставим \(t = 3\) в уравнение \(v(t)\):

\[
v(3) = 9 - 3 \cdot 3
\]

\[
v(3) = 9 - 9
\]

\[
v(3) = 0
\]

Таким образом, скорость через 3 секунды после начала движения будет равна 0.

Шаг 4: Для построения графика зависимости проекции скорости от времени, на оси \(x\) отложим время \(t\), а на оси \(y\) - проекцию скорости \(v(t)\). Используя уравнение \(v(t) = 9 - 3t\), запишем таблицу значений:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t & v(t) \\
\hline
0 & 9 \\
1 & 6 \\
2 & 3 \\
3 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим график, соединяя точки с заданными значениями:

\[GRAPH\]

На графике видно, что проекция скорости уменьшается по мере увеличения времени и становится равной 0 через 3 секунды после начала движения.

Проверка на следующем уроке:

Уравнение, описывающее скорость тела, движущегося по закону \(x = 5 + 9t - 1.5t^2\), будет \(v(t) = 9 - 3t\). Скорость через 3 секунды после начала движения составляет 0. График зависимости проекции скорости от времени показывает, что скорость уменьшается линейно и становится равной 0 через 3 секунды.